Encontre os perfis de temperatura para os seguinte casos: Cilindro oco sem geração de calor e com temperatura prescrita em ambas as superfícies (interna e externa);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os perfis de temperatura em um cilindro oco que não gera calor internamente. Além disso, as temperaturas na superfície interna e externa do cilindro são fixas (prescritas). Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em coordenadas cilíndricas, aplicando a equação de condução estacionária sem geração interna de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor para um cilindro oco em estado estacionário, sem geração de calor. Em coordenadas cilíndricas, considerando que a temperatura depende apenas da direção radial 1r ddr ( r dTdr ) = 0 , a equação fica:
Isso significa que a variação da temperatura depende apenas da distância radial do centro do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Começamos multiplicando ambos os lados por ddr ( r dTdr ) = 0 :
r dTdr = C1
Isso implica que a expressão dentro da derivada é constante. Vamos chamar essa constante de :

Passo 4

Agora, isolamos dTdr = C1r :
T(r) = C1 ln(r) + C2
Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno para determinar as constantes Ti = C1 ln(Ri) + C2 e To = C1 ln(Ro) + C2 . Suponha que:
  • na superfície interna ( )
  • na superfície externa ( )
Usando essas condições:
Para :
Para :

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar To - Ti = C1 [ln(Ro) - ln(Ri)] e C1 = To - Tiln(RoRi) . Subtraindo a primeira equação da segunda:
C2 = Ti - C1 ln(Ri) = Ti - To - Tiln(RoRi) ln(Ri)
Isso nos dá:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, a expressão para o perfil de temperatura T(r) = To - Tiln(RoRi) ln(r) + ( Ti - To - Tiln(RoRi) ln(Ri) ) fica:
T(r) = Ti + To - Tiln(RoRi) ln(rRi)
Simplificando, podemos escrever:

Resposta

O perfil de temperatura no cilindro oco é dado por:
T(r) = Ti + To - Tiln(RoRi) ln(rRi)

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