Encontre os perfis de temperatura para os seguinte casos: Cilindro oco sem geração de calor e com temperatura prescrita em ambas as superfícies (interna e externa);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os perfis de temperatura em um cilindro oco que não gera calor internamente. Além disso, as temperaturas na superfície interna e externa do cilindro são fixas (prescritas). Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em coordenadas cilíndricas, aplicando a equação de condução estacionária sem geração interna de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor para um cilindro oco em estado estacionário, sem geração de calor. Em coordenadas cilíndricas, considerando que a temperatura depende apenas da direção radial , a equação fica:
Isso significa que a variação da temperatura depende apenas da distância radial do centro do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Começamos multiplicando ambos os lados por :
Isso implica que a expressão dentro da derivada é constante. Vamos chamar essa constante de :

Passo 4

Agora, isolamos :
Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno para determinar as constantes e . Suponha que:
  • na superfície interna ( )
  • na superfície externa ( )
Usando essas condições:
Para :
Para :

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso nos dá:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, a expressão para o perfil de temperatura fica:
Simplificando, podemos escrever:

Resposta

O perfil de temperatura no cilindro oco é dado por:

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