Encontre os perfis de temperatura para os seguinte casos: Cilindro oco sem geração de calor e com temperatura prescrita em ambas as superfícies (interna e externa);
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os perfis de temperatura em um cilindro oco que não gera calor internamente. Além disso, as temperaturas na superfície interna e externa do cilindro são fixas (prescritas). Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em coordenadas cilíndricas, aplicando a equação de condução estacionária sem geração interna de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor para um cilindro oco em estado estacionário, sem geração de calor. Em coordenadas cilíndricas, considerando que a temperatura depende apenas da direção radial
, a equação fica:
Isso significa que a variação da temperatura depende apenas da distância radial do centro do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Começamos multiplicando ambos os lados por
:
Isso implica que a expressão dentro da derivada é constante. Vamos chamar essa constante de
:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos aplicar as condições de contorno para determinar as constantes
e
. Suponha que:
-
na superfície interna ( ) -
na superfície externa ( )
Usando essas condições:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso nos dá:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Passo 7
Finalmente, juntando tudo, a expressão para o perfil de temperatura
fica:
Simplificando, podemos escrever:
Resposta
O perfil de temperatura no cilindro oco é dado por: