Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento tridimensional incompressível?
c) u=x^2+2 y+z^2 ; v=x-2 y ; w=-2 x z+2 y+2 z R: sim

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se o conjunto de equações dado representa um escoamento tridimensional incompressível. Isso está dentro do estudo da mecânica dos fluidos, especificamente analisando se o fluxo do fluido mantém o volume constante (ou seja, não se comprime).
Para resolver isso, a gente vai precisar calcular a divergência do campo de velocidades. Se a divergência for zero, então o escoamento é incompressível.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da velocidade:
u = x^2 + 2y + z^2
v = x - 2y
w = -2xz + 2y + 2z
A próxima etapa é calcular a divergência do vetor velocidade nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z . A divergência é dada por:
partial upartial x = partialpartial x(x^2 + 2y + z^2) = 2x
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de partial vpartial y = partialpartial y(x - 2y) = -2 em relação a partial wpartial z = partialpartial z(-2xz + 2y + 2z) = -2x + 2 :
nabla cdot V = 2x - 2 - 2x + 2 = 0
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Agora, somamos todas essas derivadas para encontrar a divergência:

Passo 3

A divergência resultou em zero ( ), o que significa que o fluxo não está se comprimindo nem se expandindo. Ou seja, o escoamento é incompressível.

Resposta

Sim, o conjunto de equações representa um caso de escoamento tridimensional incompressível.

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