Encontre os perfis de temperatura para os seguinte casos:
(e) Cilindro sólido com geração de calor e temperatura da superfície externa conhecida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o perfil de temperatura de um cilindro sólido que gera calor internamente e tem a temperatura da superfície externa conhecida. A gente vai usar conceitos de condução de calor, mais especificamente a equação de condução com geração interna de calor. Para isso, vamos precisar aplicar a equação diferencial da condução de calor em coordenadas cilíndricas e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer a equação que descreve a condução de calor nesse cilindro. Como o cilindro está gerando calor de forma interna e estamos considerando estado estacionário (ou seja, a temperatura não muda com o tempo), a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas fica assim:
1r ddr ( r dTdr ) + q''' k = 0
Aqui:
  • é a temperatura em função do raio ,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume,
  • é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Vamos simplificar e resolver essa equação diferencial. Primeiro, expandindo a derivada:
d^2 Tdr^2 + 1r dTdr + q''' k = 0
Agora, integramos uma vez em relação a r dTdr = -q''' 2k r^2 + C1 :
dTdr = -q''' 2k r + C1r
Dividindo tudo por T(r) = -q''' 4k r^2 + C1 ln r + C2 :
Integramos novamente para encontrar :

Passo 4

Precisamos agora aplicar as condições de contorno para determinar as constantes T(R) = -q''' 4k R^2 + C1 ln R + C2 = Ts e T(r) = -q''' 4k r^2 + C2 .
  1. Condição na superfície externa ( -q''' 4k R^2 + C2 = Ts implies C2 = Ts + q''' R^24k ):
    Sabemos que a temperatura na superfície externa é . Então:
  2. Condição no centro do cilindro ( ):
    Para que a temperatura seja finita no centro, o termo não pode divergir. Isso só é possível se .
    Com , a equação simplifica para:
    Aplicando a condição de contorno:

Resposta

Portanto, o perfil de temperatura dentro do cilindro é dado por:
T(r) = Ts - q''' 4k ( r^2 - R^2 )

Exercícios relacionados