Encontre os perfis de temperatura para os seguinte casos:
(e) Cilindro sólido com geração de calor e temperatura da superfície externa conhecida.
(e) Cilindro sólido com geração de calor e temperatura da superfície externa conhecida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o perfil de temperatura de um cilindro sólido que gera calor internamente e tem a temperatura da superfície externa conhecida. A gente vai usar conceitos de condução de calor, mais especificamente a equação de condução com geração interna de calor. Para isso, vamos precisar aplicar a equação diferencial da condução de calor em coordenadas cilíndricas e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer a equação que descreve a condução de calor nesse cilindro. Como o cilindro está gerando calor de forma interna e estamos considerando estado estacionário (ou seja, a temperatura não muda com o tempo), a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas fica assim:
Aqui:
-
é a temperatura em função do raio , -
é a taxa de geração de calor por unidade de volume, -
é a condutividade térmica do material.
Passo 3
Vamos simplificar e resolver essa equação diferencial. Primeiro, expandindo a derivada:
Agora, integramos uma vez em relação a
:
Dividindo tudo por
:
Integramos novamente para encontrar
:
Passo 4
Precisamos agora aplicar as condições de contorno para determinar as constantes
e
.
-
Condição na superfície externa (
):
Sabemos que a temperatura na superfície externa é. Então: -
Condição no centro do cilindro (
):
Para que a temperatura seja finita no centro, o termonão pode divergir. Isso só é possível se . Com, a equação simplifica para: Aplicando a condição de contorno:
Resposta
Portanto, o perfil de temperatura dentro do cilindro é dado por:
Exercícios relacionados
A temperatura em um dia frio de inverno nas montanhas do Wyoming é de
, em uma altitude de 10000 ft a) Calcule a massa específica do ar, assumindo a mesma pressão que a atmosfera padrão; b) calcule a velocidade do som, c.
Dados: Pressão atmosférica a yar
Dados: Pressão atmosférica a
Resposta: (a)
(b)
(b)
- Calcule a pressão interna dentro de uma gota de água de raio
.
Resp:.
Para a medição da viscosidade, muitas indústrias utilizam o sistema CGS de unidades. A unidade da viscosidade absoluta (
) é o poise, que recebeu o nome em homenagem a J.L.M. Poiseuille, um médico francês que em 1840 realizou experimentos pioneiros com escoamento de água em tubos., sendo: 1 poise=1g/(cm.s).
A unidade da viscosidade cinemática ( ) é o stokes, que recebeu esse nome em homenagem a G.G. Stokes, um físico britânico que em 1845 ajudou a desenvolver as equações diferenciais parciais básicas da quantidade de movimento dos fluidos, sendo:
1 stokes .
A água a tem
poise e
stokes. Expresse esses resultados em (a) unidades do Sistema Internacional (S.I.) e (b) no sistema inglês (B.G.)
A unidade da viscosidade cinemática (
1 stokes
A água a
Dados:
Resposta: (a)
(b)
slug/(ft.s)
Um avião possui a velocidade de
e altitude padrão de 9000 m . Qual é seu número de Mach e qual o tipo de classificação do escoamento, conforme sua velocidade?
Dados: para 9000 m, tem-se:
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Resposta: ESCOAMENTO SUBSÔNICO
Dados: para 9000 m, tem-se:
Tar=229,66K; Par=30,723Pa
Resposta: