Encontre os perfis de temperatura para os seguinte casos:
(e) Cilindro sólido com geração de calor e temperatura da superfície externa conhecida.
(e) Cilindro sólido com geração de calor e temperatura da superfície externa conhecida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o perfil de temperatura de um cilindro sólido que gera calor internamente e tem a temperatura da superfície externa conhecida. A gente vai usar conceitos de condução de calor, mais especificamente a equação de condução com geração interna de calor. Para isso, vamos precisar aplicar a equação diferencial da condução de calor em coordenadas cilíndricas e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer a equação que descreve a condução de calor nesse cilindro. Como o cilindro está gerando calor de forma interna e estamos considerando estado estacionário (ou seja, a temperatura não muda com o tempo), a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas fica assim:
Aqui:
-
é a temperatura em função do raio , -
é a taxa de geração de calor por unidade de volume, -
é a condutividade térmica do material.
Passo 3
Vamos simplificar e resolver essa equação diferencial. Primeiro, expandindo a derivada:
Agora, integramos uma vez em relação a
:
Dividindo tudo por
:
Integramos novamente para encontrar
:
Passo 4
Precisamos agora aplicar as condições de contorno para determinar as constantes
e
.
-
Condição na superfície externa (
):
Sabemos que a temperatura na superfície externa é. Então: -
Condição no centro do cilindro (
):
Para que a temperatura seja finita no centro, o termonão pode divergir. Isso só é possível se . Com, a equação simplifica para: Aplicando a condição de contorno:
Resposta
Portanto, o perfil de temperatura dentro do cilindro é dado por: