Encontre os perfis de temperatura para os seguinte casos:
(a) Parede plana sem geração de calor e com temperatura prescrita em ambas as faces;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transferência de calor, especificamente sobre como a temperatura se distribui numa parede plana. O problema diz que não tem geração de calor dentro da parede e que as temperaturas nas duas faces da parede são conhecidas. Para resolver isso, vamos precisar entender a condução de calor em regime permanente e aplicar a lei de Fourier. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em regime permanente, a distribuição de temperatura não muda com o tempo. Isso significa que a taxa de condução de calor é constante ao longo da parede. A equação básica que descreve isso é a equação de condução de calor em uma dimensão:
Essa equação mostra que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero, indicando uma distribuição linear de temperatura quando não há fontes ou sumidouros de calor.

Passo 3

Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura. Integrando a equação uma vez em relação a :
Onde é uma constante de integração. Integrando novamente:
Aqui, é outra constante de integração. Então, a distribuição de temperatura é uma função linear de .

Passo 4

Precisamos determinar as constantes e usando as condições de contorno fornecidas. Vamos supor que a parede tem uma espessura , com na face 1 e na face 2. As temperaturas nas duas faces são e , respectivamente.
Aplicando :
Aplicando :

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever a expressão completa para a distribuição de temperatura:
Isso mostra que a temperatura varia linearmente de a ao longo da parede.

Resposta

A distribuição de temperatura na parede é dada por
onde:
  • é a temperatura em uma posição dentro da parede,
  • e são as temperaturas nas faces e , respectivamente,
  • é a espessura da parede.

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