Encontre os perfis de temperatura para os seguinte casos:
(a) Parede plana sem geração de calor e com temperatura prescrita em ambas as faces;
(a) Parede plana sem geração de calor e com temperatura prescrita em ambas as faces;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transferência de calor, especificamente sobre como a temperatura se distribui numa parede plana. O problema diz que não tem geração de calor dentro da parede e que as temperaturas nas duas faces da parede são conhecidas. Para resolver isso, vamos precisar entender a condução de calor em regime permanente e aplicar a lei de Fourier. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em regime permanente, a distribuição de temperatura não muda com o tempo. Isso significa que a taxa de condução de calor é constante ao longo da parede. A equação básica que descreve isso é a equação de condução de calor em uma dimensão:
Essa equação mostra que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero, indicando uma distribuição linear de temperatura quando não há fontes ou sumidouros de calor.
Passo 3
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura. Integrando a equação uma vez em relação a
:
Onde
é uma constante de integração. Integrando novamente:
Aqui,
é outra constante de integração. Então, a distribuição de temperatura é uma função linear de
.
Passo 4
Precisamos determinar as constantes
e
usando as condições de contorno fornecidas. Vamos supor que a parede tem uma espessura
, com
na face 1 e
na face 2. As temperaturas nas duas faces são
e
, respectivamente.
Aplicando
:
Aplicando
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a expressão completa para a distribuição de temperatura:
Isso mostra que a temperatura varia linearmente de
a
ao longo da parede.
Resposta
A distribuição de temperatura na parede é dada por
onde:
-
é a temperatura em uma posição dentro da parede, -
e são as temperaturas nas faces e , respectivamente, -
é a espessura da parede.