Determine a solução geral das edo y' * tan(x) - y = tan^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Basicamente, vamos reorganizar a equação para encontrar uma função que, quando multiplicada por ela, facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, vamos dividir tudo por (desde que ):
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função tal que:
Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 4

Calculando a integral:
Então:
Podemos simplificar para:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pela :
Simplificando:
Agora, a equação fica na forma que nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de :

Passo 6

Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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