Determine a solução geral das edo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial:
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Basicamente, vamos reorganizar a equação para encontrar uma função que, quando multiplicada por ela, facilita a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, vamos dividir tudo por
(desde que
):
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função
tal que:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Calculando a integral:
Então:
Podemos simplificar para:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pela
:
Simplificando:
Agora, a equação fica na forma que nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: