Seja A=[ll1 & 2 2 & 4 3 & 6]
Encontre uma base ortonormal de R^2 formada por autovetores de B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 1 & 2 2 & 4 3 & 6 e precisa encontrar uma base ortonormal de formada por autovetores de uma matriz . Primeiro, vamos entender que provavelmente é (a transposta de vezes ), já que isso nos dá uma matriz quadrada que podemos trabalhar para encontrar autovetores.

Passo 2

Vamos calcular A^T = 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 . Isso significa multiplicar a transposta de B = A^T A = 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 1 & 2 2 & 4 3 & 6 = 14 & 28 28 & 56 pela matriz . A transposta de é:
Multiplicando por :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores de det(B - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(14 - lambda & 28 28 & 56 - lambda) = (14 - lambda)(56 - lambda) - 28 times 28 = 0
Onde (14 - lambda)(56 - lambda) - 784 = 0 é a matriz identidade e 784 - 14lambda - 56lambda + lambda^2 - 784 = 0 são os autovalores. Calculando:
lambda^2 - 70lambda = 0
Simplificando:
lambda(lambda - 70) = 0
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 14 & 28 28 & 56 x y = 0 0 :
Resolvemos 14x + 28y = 0 28x + 56y = 0 , ou seja, x + 2y = 0 Rightarrow x = -2y .
-2 1
Isso dá as equações:
14 - 70 & 28 28 & 56 - 70 x y = -56 & 28 28 & -14 x y = 0 0
Podemos simplificar a primeira equação:
-56x + 28y = 0 28x - 14y = 0
Então, um autovetor é -2x + y = 0 Rightarrow y = 2x .
Para 1 2:
Resolvemos .
Isso dá as equações:
Simplificando a primeira equação:
Então, um autovetor é .

Passo 5

Agora, precisamos normalizar esses autovetores para que formem uma base ortonormal.
Para -2 1:
Calculamos a norma:
|v1| = raiz(-2)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5
Então, o vetor normalizado é:
u1 = 1raiz5 -2 1
Para 1 2:
Calculamos a norma:
|v2| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Então, o vetor normalizado é:
u2 = 1raiz5 1 2

Resposta

Uma base ortonormal de 1raiz5 -2 1, 1raiz5 1 2 formada por autovetores de é:

Exercícios relacionados