Seja
Encontre uma base ortonormal de formada por autovetores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa encontrar uma base ortonormal de formada por autovetores de uma matriz . Primeiro, vamos entender que provavelmente é (a transposta de vezes ), já que isso nos dá uma matriz quadrada que podemos trabalhar para encontrar autovetores.

Passo 2

Vamos calcular . Isso significa multiplicar a transposta de pela matriz . A transposta de é:
Multiplicando por :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores. Calculando:
Simplificando:
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos , ou seja, .
Isso dá as equações:
Podemos simplificar a primeira equação:
Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos .
Isso dá as equações:
Simplificando a primeira equação:
Então, um autovetor é .

Passo 5

Agora, precisamos normalizar esses autovetores para que formem uma base ortonormal.
Para :
Calculamos a norma:
Então, o vetor normalizado é:
Para :
Calculamos a norma:
Então, o vetor normalizado é:

Resposta

Uma base ortonormal de formada por autovetores de é:

Exercícios relacionados

Seja
Encontre os autovalores de .
Encontre o polinômio característico do operador dado por
Calcule , em que .
Dica: Diagonalize a matriz .
Considere o operador linear T sobre P2® definido por:
Mostre que o operador T não é injetor usando os conceitos de autovalor e autovetor.