Seja
Encontre uma base ortonormal de formada por autovetores de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa encontrar uma base ortonormal de formada por autovetores de uma matriz . Primeiro, vamos entender que provavelmente é (a transposta de vezes ), já que isso nos dá uma matriz quadrada que podemos trabalhar para encontrar autovetores.
Passo 2
Vamos calcular . Isso significa multiplicar a transposta de pela matriz . A transposta de é:
Multiplicando por :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores. Calculando:
Simplificando:
Então, os autovalores são e .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos , ou seja, .
Isso dá as equações:
Podemos simplificar a primeira equação:
Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos .
Isso dá as equações:
Simplificando a primeira equação:
Então, um autovetor é .
Passo 5
Agora, precisamos normalizar esses autovetores para que formem uma base ortonormal.
Para :
Calculamos a norma:
Então, o vetor normalizado é:
Para :
Calculamos a norma:
Então, o vetor normalizado é:
Resposta
Uma base ortonormal de formada por autovetores de é: