Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma matriz e pede para encontrar os autovalores de . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com matrizes e autovalores. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a matriz e, em seguida, encontrar os autovalores dessa nova matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa A = 1 & 2 2 & 4 3 & 6 . A notação A^T = 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 representa a transposta da matriz . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Dada a matriz :
A transposta de () será:
Passo 3
Agora, vamos calcular B = A^T A = 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 1 & 2 2 & 4 3 & 6 . Isso significa multiplicar a matriz (1 times 1) + (2 times 2) + (3 times 3) = 1 + 4 + 9 = 14 pela matriz (1 times 2) + (2 times 4) + (3 times 6) = 2 + 8 + 18 = 28 .
(2 times 1) + (4 times 2) + (6 times 3) = 2 + 8 + 18 = 28
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
Elemento da primeira linha e primeira coluna de B:
(2 times 2) + (4 times 4) + (6 times 6) = 4 + 16 + 36 = 56
Elemento da primeira linha e segunda coluna de B:
B = 14 & 28 28 & 56
Elemento da segunda linha e primeira coluna de B:
Elemento da segunda linha e segunda coluna de B:
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora que temos det(B - lambda I) = 0 , vamos encontrar seus autovalores. Autovalores são valores escalares B - lambda I = 14 - lambda & 28 28 & 56 - lambda que satisfazem a equação:
onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.
Primeiro, vamos escrever :
Passo 5
Agora, calculamos o determinante de det(B - lambda I) = (14 - lambda)(56 - lambda) - (28 times 28) :