Encontre um polinômio da forma p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 cujo gráfico passe pelos pontos de coordenadas (-3,-2),(-1,2),(1,5),(2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar um polinômio do terceiro grau, ou seja, da forma . O gráfico desse polinômio tem que passar por quatro pontos específicos: , , e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de polinômios e sistemas de equações para achar os coeficientes , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir cada um dos pontos no polinômio -2 = a0 + a1(-3) + a2(-3)^2 + a3(-3)^3 para criar um sistema de equações. Isso significa que para cada par 2 = a0 + a1(-1) + a2(-1)^2 + a3(-1)^3 , temos que 5 = a0 + a1(1) + a2(1)^2 + a3(1)^3 .
Para o ponto 1 = a0 + a1(2) + a2(2)^2 + a3(2)^3 :
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 3

Agora, vamos simplificar essas equações:
Para -2 = a0 - 3a1 + 9a2 - 27a3 :
2 = a0 - a1 + a2 - a3
Para 5 = a0 + a1 + a2 + a3 :
1 = a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3
Para :
Para :

Passo 4

Agora temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas. Vamos resolver esse sistema passo a passo. Podemos usar métodos como substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Primeiro, organizamos o sistema:
a0 - 3a1 + 9a2 - 27a3 = -2 a0 - a1 + a2 - a3 = 2 a0 + a1 + a2 + a3 = 5 a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 1
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar (-2) - 2 = (-3a1 + 9a2 - 27a3) - (-a1 + a2 - a3) ) -4 = -2a1 + 8a2 - 26a3 :
Repetimos processos semelhantes para eliminar das outras equações e assim reduzir o sistema até encontrar os valores de , e .

Passo 5

Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores dos coeficientes:
a0 = 3, a1 = -2, a2 = 1, a3 = 1

Resposta

O polinômio que satisfaz as condições é:
p(x) = 3 - 2x + x^2 + x^3

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