Sendo M1=(cc1 & -1 0 & 2), M2=(ll1 & 0 1 & 1) e M3=(ll1 & 1 0 & 0), escreva a matriz P=(cc-1 & -2 3 & 1) como combinação linear de M1, M2 e M3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três matrizes P = aM1 + bM2 + cM3 e e precisa expressar a matriz como uma combinação linear delas. Isso significa que vamos encontrar coeficientes e tais que:
Para fazer isso, vamos usar o conteúdo de combinação linear de matrizes e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes:
M1 = 1 & -1 0 & 2 , M2 = 1 & 0 1 & 1 , M3 = 1 & 1 0 & 0 , P = -1 & -2 3 & 1
Queremos encontrar -1 & -2 3 & 1 = a 1 & -1 0 & 2 + b 1 & 0 1 & 1 + c 1 & 1 0 & 0 tais que:

Passo 3

Vamos montar as equações comparando cada elemento das matrizes:
Para a posição (1,1):
a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 = -1 Rightarrow a + b + c = -1 (Equação 1) çã
Para a posição (1,2):
a cdot (-1) + b cdot 0 + c cdot 1 = -2 Rightarrow -a + c = -2 (Equação 2) çã
Para a posição (2,1):
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 = 3 Rightarrow b = 3 (Equação 3) çã
Para a posição (2,2):
a cdot 2 + b cdot 1 + c cdot 0 = 1 Rightarrow 2a + b = 1 (Equação 4) çã

Passo 4

Agora que já temos a + 3 + c = -1 Rightarrow a + c = -4 (Equação 5) da Equação 3, vamos substituir esse valor nas Equações 1 e 4.
Substituindo em Equação 1:
2a + 3 = 1 Rightarrow 2a = -2 Rightarrow a = -1 çã
Substituindo em Equação 4:

Passo 5

Com -1 + c = -4 Rightarrow c = -3 , vamos substituir na Equação 5 para encontrar :

Passo 6

Agora temos todos os coeficientes:
a = -1, b = 3, c = -3
Portanto, a combinação linear fica:
P = -1 cdot M1 + 3 cdot M2 - 3 cdot M3

Resposta

A matriz P = -1 cdot M1 + 3 cdot M2 - 3 cdot M3 pode ser escrita como:

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