Para quais valores de e o sistema abaixo (i) não tem solução, (ii) tem uma única solução, (iii) tem mais de uma solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ) e quer descobrir para quais valores de e esse sistema (i) não tem solução, (ii) tem uma única solução e (iii) tem mais de uma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes da álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o sistema e aplicar métodos para resolver. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos focar na matriz dos coeficientes, que são os números das variáveis , e :
Para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma, precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Aplicando aos nossos valores:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Calculando cada parte:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Agora, somando tudo:

Passo 6

Agora temos o determinante em termos de :
Para entender as soluções:
  • Se , o sistema tem uma única solução.
  • Se , pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso, precisamos verificar a consistência do sistema.
Então, vamos encontrar quando o determinante é zero:

Passo 7

Quando , o determinante é zero. Agora, substituímos por 4 no sistema para verificar a consistência e descobrir o valor de que leva a cada caso.
Substituindo , o sistema fica:
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar e em termos de e depois usar na terceira equação.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Expandindo:
Substituindo :

Resposta

  • **(i) O sistema não tem solução quando e .
  • **(ii) O sistema tem uma única solução quando .
  • **(iii) O sistema tem mais de uma solução quando e .

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