Para quais valores de a e b o sistema abaixo (i) não tem solução, (ii) tem uma única solução, (iii) tem mais de uma solução? lx-2 y+3 z=4 2 x-3 y+a z=5 3 x-4 y+5 z=b

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e quer descobrir para quais valores de a e b esse sistema (i) não tem solução, (ii) tem uma única solução e (iii) tem mais de uma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes da álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o sistema e aplicar métodos para resolver. A matriz aumentada fica assim:
1 & -2 & 3 & | & 4 2 & -3 & a & | & 5 3 & -4 & 5 & | & b

Passo 3

Agora, vamos focar na matriz dos coeficientes, que são os números das variáveis x, y e z:
A = 1 & -2 & 3 2 & -3 & a 3 & -4 & 5
Para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma, precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando aos nossos valores:
det(A) = 1 times ((-3 times 5) - (a times -4)) - (-2) times ((2 times 5) - (a times 3)) + 3 times ((2 times -4) - (-3 times 3))
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Calculando cada parte:
  1. Primeiro termo:
1 times (-15 + 4a) = -15 + 4a
  1. Segundo termo:
-(-2) times (10 - 3a) = 2 times (10 - 3a) = 20 - 6a
  1. Terceiro termo:
3 times (-8 + 9) = 3 times 1 = 3
Agora, somando tudo:
det(A) = (-15 + 4a) + (20 - 6a) + 3 = (4a - 6a) + (-15 + 20) + 3 = -2a + 8

Passo 6

Agora temos o determinante em termos de a:
det(A) = -2a + 8
Para entender as soluções:
  • Se det(A) neq 0, o sistema tem uma única solução.
  • Se det(A) = 0, pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso, precisamos verificar a consistência do sistema.
Então, vamos encontrar quando o determinante é zero:
-2a + 8 = 0 implies a = 4

Passo 7

Quando a = 4, o determinante é zero. Agora, substituímos a por 4 no sistema para verificar a consistência e descobrir o valor de b que leva a cada caso.
Substituindo a = 4, o sistema fica:
x - 2y + 3z = 4 2x - 3y + 4z = 5 3x - 4y + 5z = b
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar x e y em termos de z e depois usar na terceira equação.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2x - 3y + 4z) - (x - 2y + 3z) = 5 - 4 implies x - y + z = 1 implies x = y - z + 1
Agora, substituindo x na primeira equação:
(y - z + 1) - 2y + 3z = 4 implies -y + 2z + 1 = 4 implies -y + 2z = 3 implies y = 2z - 3
Agora, substituindo x e y na terceira equação:
3(y - z + 1) - 4(2z - 3) + 5z = b
Expandindo:
3y - 3z + 3 - 8z + 12 + 5z = b implies 3y - 6z + 15 = b
Substituindo y = 2z - 3:
3(2z - 3) - 6z + 15 = b implies 6z - 9 - 6z + 15 = b implies 6 = b

Resposta

  • **(i) O sistema não tem solução quando a = 4 e b neq 6.
  • **(ii) O sistema tem uma única solução quando a neq 4.
  • **(iii) O sistema tem mais de uma solução quando a = 4 e b = 6.

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