Para quais valores de e o sistema abaixo (i) não tem solução, (ii) tem uma única solução, (iii) tem mais de uma solução?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e quer descobrir para quais valores de a e b esse sistema (i) não tem solução, (ii) tem uma única solução e (iii) tem mais de uma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes da álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o sistema e aplicar métodos para resolver. A matriz aumentada fica assim:
Se det(A) = 0, pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso, precisamos verificar a consistência do sistema.
Então, vamos encontrar quando o determinante é zero:
-2a + 8 = 0 implies a = 4
Passo 7
Quando a = 4, o determinante é zero. Agora, substituímos a por 4 no sistema para verificar a consistência e descobrir o valor de b que leva a cada caso.
Substituindo a = 4, o sistema fica:
x - 2y + 3z = 4 2x - 3y + 4z = 5 3x - 4y + 5z = b
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar x e y em termos de z e depois usar na terceira equação.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2x - 3y + 4z) - (x - 2y + 3z) = 5 - 4 implies x - y + z = 1 implies x = y - z + 1