Para quais valores de e o sistema abaixo (i) não tem solução, (ii) tem uma única solução, (iii) tem mais de uma solução?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três incógnitas (, , ) e quer descobrir para quais valores de e esse sistema (i) não tem solução, (ii) tem uma única solução e (iii) tem mais de uma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes da álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o sistema e aplicar métodos para resolver. A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, vamos focar na matriz dos coeficientes, que são os números das variáveis , e :
Para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma, precisamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Aplicando aos nossos valores:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Agora, somando tudo:
Passo 6
Agora temos o determinante em termos de :
Para entender as soluções:
Se , o sistema tem uma única solução.
Se , pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso, precisamos verificar a consistência do sistema.
Então, vamos encontrar quando o determinante é zero:
Passo 7
Quando , o determinante é zero. Agora, substituímos por 4 no sistema para verificar a consistência e descobrir o valor de que leva a cada caso.
Substituindo , o sistema fica:
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar e em termos de e depois usar na terceira equação.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Expandindo:
Substituindo :
Resposta
**(i) O sistema não tem solução quando e .
**(ii) O sistema tem uma única solução quando .
**(iii) O sistema tem mais de uma solução quando e .