Encontre o polinômio de segundo grau
para o qual
e
. Além disso, calcule o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de segundo grau
que satisfaz algumas condições específicas dadas no enunciado. Além disso, vamos calcular um limite envolvendo esse polinômio. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, como derivadas e limites, além de um pouco de álgebra para manipular os polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um polinômio de segundo grau. Um polinômio de segundo grau tem a forma geral:
onde
,
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
As condições que o exercício nos dá são:
-
– isso significa que quando substituímos por na função , o resultado é 3. -
– aqui, representa a primeira derivada de , e temos que essa derivada vale quando . -
– é a segunda derivada de , e ela vale 6 quando .
Vamos usar essas informações para encontrar os coeficientes
,
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
- A primeira derivada de
é:
- A segunda derivada de
é:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição da segunda derivada
:
Então, já sabemos que
.
Passo 6
Em seguida, usamos a condição da primeira derivada
:
Resolvendo para
:
Agora, temos
.
Passo 7
Por fim, usamos a condição
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Então,
.
Passo 8
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos escrever o polinômio completo:
Passo 9
Agora, vamos calcular o limite:
Primeiro, substituímos
:
Passo 10
Vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na função:
- No numerador:
- No denominador:
Ambos resultam em 0, então temos uma indeterminação do tipo
. Nesse caso, podemos simplificar a fração fatorando o numerador e o denominador.
Passo 11
Sabemos que
é uma raiz tanto do numerador quanto do denominador. Portanto, podemos fatorar
dos dois:
- Numerador
:
- Denominador
:
Vamos fatorar passo a passo. Sabendo que
é uma raiz, podemos dividir o polinômio por
:
Passo 12
Agora, podemos cancelar o fator comum
:
Passo 13
Com a fração simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O polinômio de segundo grau é
e o limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes derivadas:
(a)
(a)
Usando os conhecimentos aprendidos no curso, encontre uma aproximação linear para
(a) 0,96
(b) 0,97
© 0,98
(d) 0,99
(a) 0,96
(b) 0,97
© 0,98
(d) 0,99
Qual será a variação real sofrida durante o 180 mês?
Seguindo os passo para a construção de gráficos, fazer um esboço do gráfico das funções: