Encontre o polinômio de segundo grau para o qual e . Além disso, calcule o limite

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de segundo grau que satisfaz algumas condições específicas dadas no enunciado. Além disso, vamos calcular um limite envolvendo esse polinômio. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, como derivadas e limites, além de um pouco de álgebra para manipular os polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um polinômio de segundo grau. Um polinômio de segundo grau tem a forma geral:
onde , e são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

As condições que o exercício nos dá são:
  1. – isso significa que quando substituímos por na função , o resultado é 3.
  2. – aqui, representa a primeira derivada de , e temos que essa derivada vale quando .
  3. é a segunda derivada de , e ela vale 6 quando .
Vamos usar essas informações para encontrar os coeficientes , e .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular as derivadas de :
  • A primeira derivada de é:
  • A segunda derivada de é:

Passo 5

Agora, vamos usar a condição da segunda derivada :
Então, já sabemos que .

Passo 6

Em seguida, usamos a condição da primeira derivada :
Resolvendo para :
Agora, temos .

Passo 7

Por fim, usamos a condição para encontrar :
Resolvendo para :
Então, .

Passo 8

Com os valores de , e encontrados, podemos escrever o polinômio completo:

Passo 9

Agora, vamos calcular o limite:
Primeiro, substituímos :

Passo 10

Vamos verificar o que acontece quando substituímos diretamente na função:
  • No numerador:
  • No denominador:
Ambos resultam em 0, então temos uma indeterminação do tipo . Nesse caso, podemos simplificar a fração fatorando o numerador e o denominador.

Passo 11

Sabemos que é uma raiz tanto do numerador quanto do denominador. Portanto, podemos fatorar dos dois:
  • Numerador :
  • Denominador :
Vamos fatorar passo a passo. Sabendo que é uma raiz, podemos dividir o polinômio por :

Passo 12

Agora, podemos cancelar o fator comum :

Passo 13

Com a fração simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O polinômio de segundo grau é e o limite é .

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