Seguindo os passo para a construção de gráficos, fazer um esboço do gráfico das funções:

Passo 1

Ok, então a gente tem que fazer um esboço do gráfico da função . Vamos trabalhar com gráficos de funções racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar identificar o domínio da função, as assíntotas, os pontos de interseção com os eixos e o comportamento geral do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que não deixam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, vamos resolver:
Isso significa que e , ou seja, e . Então, o domínio é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de que fazem o denominador zero. Já vimos que e deixam o denominador zero, então temos duas assíntotas verticais:
Essas linhas verticais não fazem parte do gráfico, mas o gráfico se aproxima delas.

Passo 4

Vamos encontrar as interceptações com os eixos. Primeiro, a interceptação com o eixo ocorre quando :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .
Para encontrar as interceptações com o eixo , resolvemos . Mas como o numerador é 1, que nunca é zero, não há interceptações com o eixo .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito e a menos infinito para identificar possíveis assíntotas horizontais.
Isso significa que existe uma assíntota horizontal em , que é o eixo .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. Sabemos que há assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , e a função passa pelo ponto . Além disso, analisando os sinais nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais, podemos ver que o gráfico tem duas partes: uma no intervalo e outra no intervalo , ambas se aproximando das assíntotas.

Resposta

O esboço do gráfico da função apresenta duas ramos separados por assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , e passa pelo ponto . O gráfico se aproxima das assíntotas conforme tende ao infinito positivo e negativo, formando duas curvas distintas que nunca encontram as linhas das assíntotas.

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