Seguindo os passo para a construção de gráficos, fazer um esboço do gráfico das funções:
Passo 1
Ok, então a gente tem que fazer um esboço do gráfico da função
. Vamos trabalhar com gráficos de funções racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar identificar o domínio da função, as assíntotas, os pontos de interseção com os eixos e o comportamento geral do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que não deixam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, vamos resolver:
Isso significa que
e
, ou seja,
e
. Então, o domínio é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de
que fazem o denominador zero. Já vimos que
e
deixam o denominador zero, então temos duas assíntotas verticais:
Essas linhas verticais não fazem parte do gráfico, mas o gráfico se aproxima delas.
Passo 4
Vamos encontrar as interceptações com os eixos. Primeiro, a interceptação com o eixo
ocorre quando
:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Para encontrar as interceptações com o eixo
, resolvemos
. Mas como o numerador é 1, que nunca é zero, não há interceptações com o eixo
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito e a menos infinito para identificar possíveis assíntotas horizontais.
Isso significa que existe uma assíntota horizontal em
, que é o eixo
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. Sabemos que há assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e a função passa pelo ponto
. Além disso, analisando os sinais nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais, podemos ver que o gráfico tem duas partes: uma no intervalo
e outra no intervalo
, ambas se aproximando das assíntotas.
Resposta
O esboço do gráfico da função
apresenta duas ramos separados por assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e passa pelo ponto
. O gráfico se aproxima das assíntotas conforme
tende ao infinito positivo e negativo, formando duas curvas distintas que nunca encontram as linhas das assíntotas.
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para o qual
e
. Além disso, calcule o limite
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