Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
n. y'' - 6y' + 9y = 2e^(3t), y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condição inicial. A equação que temos é:
E as condições iniciais são:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e particular, além de aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, temos uma raiz real dupla . Isso nos dá a solução geral da parte homogênea:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito da equação é e já temos na solução homogênea, precisamos multiplicar por para evitar a repetição. Portanto, tentamos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Simplificando:

Passo 5

Substituímos , e na equação original:
Simplificando cada termo:
Cancelando termos semelhantes:
Isso implica que , logo .

Passo 6

Então, a solução particular é:
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da parte homogênea e da particular:
Podemos fatorar :

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .

Passo 8

Agora, calculamos a derivada de :
Como :
Simplificando:
Agora, aplicamos a condição inicial :

Passo 9

Agora que temos e , substituímos na solução geral:
Podemos escrever de forma mais simples:

Resposta

A solução do problema é:

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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
c. y'' - 4y' + 4y = e^(2t)
Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
h. x^2 y'' - 4 x y' + 6 y = 1/x^4, x != 0, y1(x) = x^2, y2(x) = x^3.
Encontre o polinómio de Taylor T2 de f(x) centrado em ponto a = 1
f(x) = 1/x
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
d. y'' + 4y = 3 csc(t), 0 < t < pi;