Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
c.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea que é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, usamos a equação característica, que é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. Substituímos
por
, o que nos dá:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, essa equação é um quadrado perfeito:
Então, temos uma raiz dupla:
Passo 4
Como a equação característica tem uma raiz real dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a solução particular
da equação não homogênea:
Como o lado direito é
e essa função já aparece na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Então:
Passo 7
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
h. ,
,
.
h.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
g. ;
g.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
n. ,
,
n.
Encontre o polinómio de Taylor
de
centrado em ponto