Encontre o ponto de interseção das circunferências x^2+y^2- 6 x-2 y+2=0 e (x-4)^2+(y-2)^2=10.
a) (1,-3) e(5,-1).
b) (1,3) e(5,-1).
c) (3,1) e(1,5).
d) (3,1) e(5,-1).
e) (1,3) e(5,-1).
f) (3,-1) e(5,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ponto de interseção de duas circunferências. Isso está relacionado à geometria analítica, onde usamos equações de circunferências para encontrar pontos que pertencem a ambas. Para resolver, vamos precisar manipular as equações das circunferências e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das circunferências de forma mais simples. A primeira circunferência é dada por:
x^2 + y^2 - 6x - 2y + 2 = 0
Podemos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio, mas para encontrar a interseção, uma abordagem mais direta é isolar uma das variáveis em uma das equações e substituir na outra.

Passo 3

Vamos isolar y na primeira equação. Primeiro, reorganizamos os termos:
x^2 - 6x + y^2 - 2y = -2
Agora, completamos o quadrado para y:
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
Substituindo de volta na equação:
x^2 - 6x + (y - 1)^2 - 1 = -2 x^2 - 6x + (y - 1)^2 = -1
Mas isso não simplifica muito, então vamos tentar outra abordagem: subtrair as duas equações para eliminar termos quadráticos.

Passo 4

A segunda circunferência é:
(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 10
Expandindo essa equação:
x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = 10 x^2 - 8x + y^2 - 4y + 20 = 10 x^2 - 8x + y^2 - 4y = -10
Agora, temos duas equações:
  1. x^2 + y^2 - 6x - 2y = -2
  2. x^2 + y^2 - 8x - 4y = -10
Vamos subtrair a primeira da segunda para eliminar x^2 e y^2:
(x^2 + y^2 - 8x - 4y) - (x^2 + y^2 - 6x - 2y) = -10 - (-2) -2x -2y = -8
Simplificando:
-2x - 2y = -8 x + y = 4 (dividindo por -2)

Passo 5

Agora temos uma equação linear x + y = 4. Vamos usar essa relação para substituir y na primeira equação da circunferência.
Da equação x + y = 4, temos:
y = 4 - x
Substituindo na primeira circunferência:
x^2 + (4 - x)^2 - 6x - 2(4 - x) = -2 x^2 + (16 - 8x + x^2) - 6x - 8 + 2x = -2 2x^2 - 12x + 8 = -2 2x^2 - 12x + 10 = 0 x^2 - 6x + 5 = 0 (dividindo por 2)

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática x^2 - 6x + 5 = 0. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = 0
Portanto, as soluções para x são x = 1 e x = 5.

Passo 7

Agora, encontramos os valores correspondentes de y usando y = 4 - x:
  • Para x = 1:
    y = 4 - 1 = 3
  • Para x = 5:
    y = 4 - 5 = -1

Resposta

Os pontos de interseção são (1,,3) e (5,,-1). Portanto, a resposta correta é a opção b) (1,3) e (5,-1).

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