Encontre o ponto de interseção das circunferências
e
.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ponto de interseção de duas circunferências. Isso está relacionado à geometria analítica, onde usamos equações de circunferências para encontrar pontos que pertencem a ambas. Para resolver, vamos precisar manipular as equações das circunferências e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das circunferências de forma mais simples. A primeira circunferência é dada por:
Podemos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio, mas para encontrar a interseção, uma abordagem mais direta é isolar uma das variáveis em uma das equações e substituir na outra.
Passo 3
Vamos isolar
na primeira equação. Primeiro, reorganizamos os termos:
Agora, completamos o quadrado para
:
Substituindo de volta na equação:
Mas isso não simplifica muito, então vamos tentar outra abordagem: subtrair as duas equações para eliminar termos quadráticos.
Passo 4
A segunda circunferência é:
Expandindo essa equação:
Agora, temos duas equações:
Vamos subtrair a primeira da segunda para eliminar
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos uma equação linear
. Vamos usar essa relação para substituir
na primeira equação da circunferência.
Da equação
, temos:
Substituindo na primeira circunferência:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Portanto, as soluções para
são
e
.
Passo 7
Agora, encontramos os valores correspondentes de
usando
:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
Os pontos de interseção são
e
. Portanto, a resposta correta é a opção b)
e
.