(f) Cada conjunto de vetores que gera R^n contém alguma base de R^n.

Passo 1

Então, a questão está perguntando se qualquer conjunto de vetores que gera necessariamente contém uma base de . Vamos usar conceitos de álgebra linear como geração de espaços, base e independência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores gerar . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores desse conjunto. Em outras palavras, eles “espam” todo o espaço.

Passo 3

Agora, uma base de é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que também geram (\mathbb{R}^{n}}. A independência linear significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores.

Passo 4

Dado um conjunto de vetores que gera , esses vetores podem ser mais do que , ou seja, pode haver vetores extras que não são necessários para a geração do espaço. O objetivo é selecionar vetores desse conjunto que sejam linearmente independentes.

Passo 5

Para fazer isso, podemos usar o Processo de Eliminação de Gauss ou simplesmente analisar dependências lineares entre os vetores. Se encontrarmos vetores que são combinações lineares de outros, podemos descartá-los até restarem apenas vetores que não dependem uns dos outros.

Passo 6

Após selecionar esses vetores independentes, temos um conjunto que não só gera (porque o conjunto original gera) mas também é linearmente independente. Assim, esse conjunto é uma base de .

Resposta

Portanto, cada conjunto de vetores que gera contém alguma base de .

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