(f) Cada conjunto de vetores que gera
contém alguma base de
.
Passo 1
Então, a questão está perguntando se qualquer conjunto de vetores que gera
necessariamente contém uma base de
. Vamos usar conceitos de álgebra linear como geração de espaços, base e independência linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores gerar
. Isso quer dizer que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores desse conjunto. Em outras palavras, eles “espam” todo o espaço.
Passo 3
Agora, uma base de
é um conjunto de
vetores que são linearmente independentes e que também geram (\mathbb{R}^{n}}. A independência linear significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores.
Passo 4
Dado um conjunto de vetores que gera
, esses vetores podem ser mais do que
, ou seja, pode haver vetores extras que não são necessários para a geração do espaço. O objetivo é selecionar
vetores desse conjunto que sejam linearmente independentes.
Passo 5
Para fazer isso, podemos usar o Processo de Eliminação de Gauss ou simplesmente analisar dependências lineares entre os vetores. Se encontrarmos vetores que são combinações lineares de outros, podemos descartá-los até restarem apenas
vetores que não dependem uns dos outros.
Passo 6
Após selecionar esses
vetores independentes, temos um conjunto que não só gera
(porque o conjunto original gera) mas também é linearmente independente. Assim, esse conjunto é uma base de
.
Resposta
Portanto, cada conjunto de vetores que gera
contém alguma base de
.