Seja
o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos
e
. Encontre a distância do ponto
ao plano
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano, chamado π, que passa pela origem e é perpendicular a uma reta que passa pelos pontos
e
. Precisamos encontrar a distância do ponto
até esse plano π.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos lembrar que a distância de um ponto a um plano pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde:
-
é o vetor normal ao plano. -
é o coeficiente da equação do plano. -
é o vetor posição do ponto.
Como o plano passa pela origem, o termo
será zero. Então, simplificamos a fórmula para:
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal
ao plano π. Sabemos que o plano é perpendicular à reta que passa pelos pontos A e B. Então, o vetor que define essa reta será o vetor direção da reta e também o vetor normal ao plano.
Vamos encontrar o vetor direção
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
O valor absoluto desse produto escalar é
.
Passo 5
Em seguida, calculamos a norma do vetor normal
:
Passo 6
Agora, aplicamos os valores na fórmula da distância:
Resposta
A distância do ponto
ao plano π é
unidades.