Seja pi o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(-1,1,-2). Encontre a distância do ponto C=(1,1,1) ao plano pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano, chamado π, que passa pela origem e é perpendicular a uma reta que passa pelos pontos e . Precisamos encontrar a distância do ponto até esse plano π.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos lembrar que a distância de um ponto a um plano pode ser encontrada usando a fórmula:
d = |n cdot C + D||n|
Onde:
  • d = |n cdot C||n| é o vetor normal ao plano.
  • é o coeficiente da equação do plano.
  • é o vetor posição do ponto.
Como o plano passa pela origem, o termo será zero. Então, simplificamos a fórmula para:

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal AB = B - A = (-1 - 1, 1 - 2, -2 - 3) = (-2, -1, -5) ao plano π. Sabemos que o plano é perpendicular à reta que passa pelos pontos A e B. Então, o vetor que define essa reta será o vetor direção da reta e também o vetor normal ao plano.
Vamos encontrar o vetor direção :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar n cdot C = (-2)(1) + (-1)(1) + (-5)(1) = -2 -1 -5 = -8 :
O valor absoluto desse produto escalar é .

Passo 5

Em seguida, calculamos a norma do vetor normal |n| = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + (-5)^2 = raiz4 + 1 + 25 = raiz30 :

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula da distância:
d = 8raiz30 = 8raiz3030 = 4raiz3015

Resposta

A distância do ponto ao plano π é unidades.

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