Determine o ângulo entre a reta que passa pelos pontos
e
e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o ângulo entre a reta que passa pelos pontos
e
e o plano
. Aqui, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e como calcular ângulos entre vetores e planos. Vamos precisar descobrir o vetor direção da reta e a normal do plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor direção da reta que passa pelos pontos
e
. Para isso, subtraímos as coordenadas de
das coordenadas de
:
Esse vetor
indica a direção da reta.
Passo 3
Agora, precisamos identificar a normal do plano
. A normal é um vetor perpendicular ao plano. Para o plano
, a normal é o vetor na direção do eixo
:
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, vamos primeiro calcular o ângulo entre o vetor direção da reta
e a normal do plano
. Usamos a fórmula do produto escalar:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são os módulos dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Os módulos dos vetores são:
Passo 6
Substituindo na fórmula do cosseno:
Agora, vamos encontrar o ângulo
tirando o arco cosseno de
:
Resposta
O ângulo entre a reta e o plano
é de aproximadamente
.