Determine o ângulo entre a reta que passa pelos pontos A= (-1,2,3) e B=(7,2,-3) e o plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o ângulo entre a reta que passa pelos pontos e e o plano . Aqui, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e como calcular ângulos entre vetores e planos. Vamos precisar descobrir o vetor direção da reta e a normal do plano .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor direção da reta que passa pelos pontos AB = B - A = (7 - (-1), 2 - 2, -3 - 3) = (8, 0, -6) e . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Esse vetor indica a direção da reta.

Passo 3

Agora, precisamos identificar a normal do plano n = (0, 0, 1) . A normal é um vetor perpendicular ao plano. Para o plano , a normal é o vetor na direção do eixo :

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, vamos primeiro calcular o ângulo entre o vetor direção da reta cos(theta) = AB cdot n|AB| cdot |n| e a normal do plano . Usamos a fórmula do produto escalar:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar AB cdot n = (8)(0) + (0)(0) + (-6)(1) = 0 + 0 - 6 = -6 :
|AB| = raiz8^2 + 0^2 + (-6)^2 = raiz64 + 0 + 36 = raiz100 = 10
Os módulos dos vetores são:
|n| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz0 + 0 + 1 = 1

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -610 cdot 1 = -610 = -0,6
Agora, vamos encontrar o ângulo theta = arccos(-0,6) approx 126,87^circ tirando o arco cosseno de :

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é de aproximadamente .

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