Encontre o ponto mais próximo de y pertencente ao subespaço W gerado por v1 e v2.
y=[l 3 1 5 1 ], v1=[r 3 1 -1 1 ], v2=[r 1 -1 1 -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me apresentou é sobre álgebra linear, especificamente sobre encontrar o ponto mais próximo de um vetor y em um subespaço W. O subespaço W é gerado pelos vetores v1 e v2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de projeção de vetores em subespaços, que nos ajuda a encontrar o ponto no subespaço W que está mais próximo de y. Vamos precisar trabalhar com combinações lineares e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto mais próximo de y no subespaço W. Isso quer dizer que queremos encontrar um vetor p em W tal que a distância entre y e p seja mínima.

Passo 3

Sabemos que o subespaço W é formado por todas as combinações lineares dos vetores v1 e v2. Ou seja,
p = av1 + bv2
onde a e b são escalares que precisamos encontrar.

Passo 4

Para que p seja o ponto mais próximo de y em W, o vetor que liga y a p (ou seja, y - p) deve ser ortogonal a todo vetor no subespaço W. Isso significa que y - p deve ser ortogonal a v1 e a v2.

Passo 5

A ortogonalidade pode ser expressa usando o produto escalar. Portanto, temos as seguintes equações:
(y - av1 - bv2) cdot v1 = 0
(y - av1 - bv2) cdot v2 = 0

Passo 6

Vamos calcular os produtos escalares. Primeiro, vamos calcular y cdot v1, v1 cdot v1, v2 cdot v1, y cdot v2, v1 cdot v2, e v2 cdot v2.
Calculando:
y cdot v1 = 3 cdot 3 + 1 cdot 1 + 5 cdot (-1) + 1 cdot 1 = 9 + 1 - 5 + 1 = 6
v1 cdot v1 = 3^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 9 + 1 + 1 + 1 = 12
v2 cdot v1 = 1 cdot 3 + (-1) cdot 1 + 1 cdot (-1) + (-1) cdot 1 = 3 -1 -1 -1 = 0
y cdot v2 = 3 cdot 1 + 1 cdot (-1) + 5 cdot 1 + 1 cdot (-1) = 3 -1 +5 -1 = 6
v2 cdot v2 = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Passo 7

Substituindo esses valores nas equações de ortogonalidade:
Primeira equação:
6 - 12a - 0b = 0 Rightarrow 6 - 12a = 0
Segunda equação:
6 - 0a - 4b = 0 Rightarrow 6 - 4b = 0

Passo 8

Resolvendo as equações:
Da primeira equação:
6 - 12a = 0 Rightarrow 12a = 6 Rightarrow a = 612 = 12
Da segunda equação:
6 - 4b = 0 Rightarrow 4b = 6 Rightarrow b = 64 = 32

Resposta

O ponto mais próximo de y no subespaço W é dado por:
p = 12v1 + 32v2 = 123 1 -1 1 + 321 -1 1 -1 = 3cdot12 + 1cdot32 1cdot12 + (-1)cdot32 -1cdot12 + 1cdot32 1cdot12 + (-1)cdot32 = 32 + 32 12 - 32 -12 + 32 12 - 32 = 3 -1 1 -1
Portanto, o ponto mais próximo é:
p = 3 -1 1 -1

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