Encontre o ponto mais próximo de pertencente ao subespaço gerado por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me apresentou é sobre álgebra linear, especificamente sobre encontrar o ponto mais próximo de um vetor y em um subespaço W. O subespaço W é gerado pelos vetores v1 e v2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de projeção de vetores em subespaços, que nos ajuda a encontrar o ponto no subespaço W que está mais próximo de y. Vamos precisar trabalhar com combinações lineares e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto mais próximo de y no subespaço W. Isso quer dizer que queremos encontrar um vetor p em W tal que a distância entre y e p seja mínima.
Passo 3
Sabemos que o subespaço W é formado por todas as combinações lineares dos vetores v1 e v2. Ou seja,
p = av1 + bv2
onde a e b são escalares que precisamos encontrar.
Passo 4
Para que p seja o ponto mais próximo de y em W, o vetor que liga y a p (ou seja, y - p) deve ser ortogonal a todo vetor no subespaço W. Isso significa que y - p deve ser ortogonal a v1 e a v2.
Passo 5
A ortogonalidade pode ser expressa usando o produto escalar. Portanto, temos as seguintes equações:
(y - av1 - bv2) cdot v1 = 0
(y - av1 - bv2) cdot v2 = 0
Passo 6
Vamos calcular os produtos escalares. Primeiro, vamos calcular y cdot v1, v1 cdot v1, v2 cdot v1, y cdot v2, v1 cdot v2, e v2 cdot v2.