Seja o subespaço gerado pelos e escreva como uma soma de um vetor em e outro ortogonal em .
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor y = 1 3 5 e um subespaço W gerado pelos vetores u1 = 1 3 -2 e u2 = 5 1 4. Queremos escrever y como a soma de um vetor que está em W e outro que é ortogonal a W. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e ortogonalidade.
Passo 2
Vamos chamar o vetor que está em W de yW e o vetor ortogonal a W de yperp. Então, queremos encontrar yW e yperp tais que:
y = yW + yperp
Como yW está em W, podemos escrevê-lo como combinação linear de u1 e u2:
yW = au1 + bu2
onde a e b são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
A condição de que yperp é ortogonal a W significa que ele é ortogonal a qualquer vetor em W, incluindo u1 e u2. Então, temos duas equações de ortogonalidade:
u1 cdot yperp = 0 u2 cdot yperp = 0
Substituindo yperp = y - yW nessas equações, temos: