Seja W o subespaço gerado pelos u e escreva y como uma soma de um vetor em W e outro ortogonal em W.
a) y=[l1 3 5] ; u1=[r1 3 -2] ; u2=[l5 1 4]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor y = 1 3 5 e um subespaço W gerado pelos vetores u1 = 1 3 -2 e u2 = 5 1 4. Queremos escrever y como a soma de um vetor que está em W e outro que é ortogonal a W. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e ortogonalidade.

Passo 2

Vamos chamar o vetor que está em W de yW e o vetor ortogonal a W de yperp. Então, queremos encontrar yW e yperp tais que:
y = yW + yperp
Como yW está em W, podemos escrevê-lo como combinação linear de u1 e u2:
yW = au1 + bu2
onde a e b são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

A condição de que yperp é ortogonal a W significa que ele é ortogonal a qualquer vetor em W, incluindo u1 e u2. Então, temos duas equações de ortogonalidade:
u1 cdot yperp = 0 u2 cdot yperp = 0
Substituindo yperp = y - yW nessas equações, temos:
u1 cdot (y - au1 - bu2) = 0 u2 cdot (y - au1 - bu2) = 0

Passo 4

Vamos expandir as equações:
u1 cdot y - a (u1 cdot u1) - b (u1 cdot u2) = 0 u2 cdot y - a (u2 cdot u1) - b (u2 cdot u2) = 0
Essas são duas equações lineares para os coeficientes a e b.

Passo 5

Vamos calcular os produtos escalares necessários:
  1. u1 cdot y = (1)(1) + (3)(3) + (-2)(5) = 1 + 9 - 10 = 0
  2. u2 cdot y = (5)(1) + (1)(3) + (4)(5) = 5 + 3 + 20 = 28
  3. u1 cdot u1 = 1^2 + 3^2 + (-2)^2 = 1 + 9 + 4 = 14
  4. u1 cdot u2 = (1)(5) + (3)(1) + (-2)(4) = 5 + 3 - 8 = 0
  5. u2 cdot u2 = 5^2 + 1^2 + 4^2 = 25 + 1 + 16 = 42

Passo 6

Substituindo esses valores nas equações:
  1. 0 - a(14) - b(0) = 0 Rightarrow -14a = 0 Rightarrow a = 0
  2. 28 - a(0) - b(42) = 0 Rightarrow 28 - 42b = 0 Rightarrow 42b = 28 Rightarrow b = 2842 = 23

Passo 7

Agora que temos a = 0 e b = 23, podemos encontrar yW:
yW = 0 cdot u1 + 23 cdot u2 = 23 5 1 4 = 103 23 83

Passo 8

Finalmente, encontramos yperp subtraindo yW de y:
yperp = y - yW = 1 3 5 - 103 23 83 = 1 - 103 3 - 23 5 - 83 = -73 73 73

Resposta

y = 103 23 83 + -73 73 73
Onde 103 23 83 está em W e -73 73 73 é ortogonal a W.

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