Ache - usando posto de matrizes - uma condição envolvendo e para que o sistema abaixo tenha solução:
A seguir, encontre uma solução para o sistema. Essa solução é única?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com quatro variáveis x + y + z + t &= a 5y + 2z + 4t &= b 5x - 2y + z - t &= c , , e :
O que precisamos fazer aqui é descobrir uma condição envolvendo , e usando o posto das matrizes para garantir que esse sistema tenha solução. Depois, vamos encontrar essa solução e ver se ela é única. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, posto de matrizes e o teorema de Rouché–Capelli.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema e a matriz ampliada (que inclui os termos constantes A = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 5 & 2 & 4 5 & -2 & 1 & -1 , A' = 1 & 1 & 1 & 1 & a 0 & 5 & 2 & 4 & b 5 & -2 & 1 & -1 & c , ).
A matriz dos coeficientes é:
E a matriz ampliada é:
Para que o sistema tenha solução, o posto da matriz dos coeficientes deve ser igual ao posto da matriz ampliada . Além disso, esse posto deve ser igual ao número de incógnitas menos o número de equações, para garantir a existência de soluções.
Passo 3
Vamos calcular o posto das matrizes. O posto é basicamente o número máximo de linhas linearmente independentes.
Troque a terceira linha pela terceira menos 5 vezes a primeira linha:
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 25 & 45 0 & -7 & -4 & -6
Agora, multiplique a segunda linha por 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 25 & 45 0 & 0 & 0 & 0 :
A' = 1 & 1 & 1 & 1 & a 0 & 5 & 2 & 4 & b 5 & -2 & 1 & -1 & c
Adicione 7 vezes a segunda linha à terceira linha:
1 & 1 & 1 & 1 & a 0 & 5 & 2 & 4 & b 0 & -7 & -4 & -6 & c - 5a
Então, o posto da matriz 1 & 1 & 1 & 1 & a 0 & 1 & 25 & 45 & b5 0 & -7 & -4 & -6 & c - 5a é 2.
Agora, vamos fazer o mesmo para a matriz ampliada 1 & 1 & 1 & 1 & a 0 & 1 & 25 & 45 & b5 0 & 0 & 0 & 0 & c - 5a + 7 cdot b5 :
c - 5a + 7b5 = 0
Seguindo os mesmos passos:
Subtraia 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
c = 5a - 7b5
Divida a segunda linha por 5:
c = 5a - 7b5
Adicione 7 vezes a segunda linha à terceira linha:
Simplificando a última entrada:
Ou seja:
Portanto, para que o posto de seja igual a 2 (igual ao posto de ), devemos ter:
Passo 4
Agora que temos a condição para o sistema ter solução, vamos encontrar essa solução assumindo que 1 & 1 & 1 & 1 & a 0 & 1 & 25 & 45 & b5 0 & 0 & 0 & 0 & 0 .
Voltando à matriz escalonada:
y + 25z + 45t = b5
Da segunda linha, temos:
y = b5 - 25z - 45t
Podemos resolver para x + y + z + t = a :
x + ( b5 - 25z - 45t ) + z + t = a
Da primeira linha:
x + b5 + ( -25z + z ) + ( -45t + t ) = a
Substituindo x + b5 + 35z + 15t = a :
x = a - b5 - 35z - 15t
Simplificando:
x = a - b5 - 35s - 15r y = b5 - 25s - 45r z = s t = r
Isolando :
Agora, temos e em função de e . Como e são variáveis livres, podemos atribuir valores a elas para obter soluções específicas. Por exemplo, podemos deixar e , onde e são quaisquer números reais.
Então, a solução geral do sistema é:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a solução é única. No nosso caso, vemos que e podem assumir quaisquer valores reais. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, pois sempre podemos escolher diferentes valores para e e obter soluções diferentes.
Portanto, a solução não é única.
Resposta
Condição para que o sistema tenha solução: x = a - b5 - 35s - 15r y = b5 - 25s - 45r z = s t = r
Solução geral do sistema:
onde e são números reais quaisquer.
A solução não é única, pois depende dos parâmetros livres e .