Encontre os pontos de acumulação de cada sequência abaixo R.: e 1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos de acumulação da sequência . Isso significa que queremos descobrir quais valores a sequência se aproxima conforme cresce cada vez mais. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as partes da sequência: o fator fracionário e o termo trigonométrico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o fator fracionário . Conforme fica bem grande, o que acontece com essa fração? Simplificando, dividindo numerador e denominador por , temos:
Então, tende para 1 quando vai para o infinito.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o termo trigonométrico . Sabemos que a função cosseno é periódica, com período . No entanto, aqui temos , então a periodicidade se ajusta.
Calculando para alguns valores de :
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E aí, percebeu que os valores de se repetem a cada 6 termos? Ou seja, a sequência de cossenos é periódica com período 6, oscilando entre , , e .
Passo 4
Já que o fator fracionário está se aproximando de 1 e o termo de cosseno está oscilando entre aqueles valores periódicos, os pontos de acumulação da sequência serão os produtos desses limites.
Como para grande, os pontos de acumulação de serão praticamente os mesmos que os valores do cosseno: