Encontre os pontos de acumulação de cada sequência
abaixo
R.:
e 1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos de acumulação da sequência
. Isso significa que queremos descobrir quais valores a sequência se aproxima conforme
cresce cada vez mais. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as partes da sequência: o fator fracionário
e o termo trigonométrico
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o fator fracionário
. Conforme
fica bem grande, o que acontece com essa fração? Simplificando, dividindo numerador e denominador por
, temos:
Então,
tende para 1 quando
vai para o infinito.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o termo trigonométrico
. Sabemos que a função cosseno é periódica, com período
. No entanto, aqui temos
, então a periodicidade se ajusta.
Calculando para alguns valores de
:
-
: -
: -
: -
: -
: -
:
E aí, percebeu que os valores de
se repetem a cada 6 termos? Ou seja, a sequência de cossenos é periódica com período 6, oscilando entre
,
,
e
.
Passo 4
Já que o fator fracionário
está se aproximando de 1 e o termo de cosseno está oscilando entre aqueles valores periódicos, os pontos de acumulação da sequência
serão os produtos desses limites.
Como
para
grande, os pontos de acumulação de
serão praticamente os mesmos que os valores do cosseno:
Resposta
Os pontos de acumulação da sequência são
,
,
e
.