Encontre os pontos de acumulação de cada sequência abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de acumulação da sequência definida de forma diferente dependendo se é par, potência de 3 ou ímpar não potência de 3. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos de acumulação e como analisar o comportamento de diferentes partes da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos onde an = 3nn+1 é par. Nesses casos, a sequência é definida por:
limn to infty 3nn+1 = limn to infty 3nn cdot 11 + 1n = 3 cdot 1 = 3
Para encontrar o ponto de acumulação dessa parte da sequência, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Então, o ponto de acumulação para os termos pares é 3.
Passo 3
Agora, vamos considerar os termos onde an = nn+1 é uma potência de 3. Nesses casos, a sequência é dada por:
limn to infty nn+1 = limn to infty nn cdot 11 + 1n = 1 cdot 1 = 1
Calculando o limite quando tende ao infinito:
Portanto, o ponto de acumulação para as potências de 3 é 1.
Passo 4
Por último, vamos analisar os termos onde an = (-1)^nn é ímpar mas não é uma potência de 3. Nesses casos, a sequência é:
limn to infty (-1)^nn = 0
Aqui, faz os termos alternarem entre positivo e negativo, mas o denominador cresce sem limite. Vamos calcular o limite:
Mesmo com a alternância de sinais, o valor absoluto dos termos está diminuindo e se aproximando de 0. Assim, o único ponto de acumulação para essa parte da sequência é 0.
Resposta
Os pontos de acumulação da sequência são 0, 1 e 3.