Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
, sendo
. R.: 0
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos calcular o limite da sequência cujo termo geral é dado por:
onde
.
Conteúdo da Matéria:
- Limites de Sequências: Estudar para onde os termos da sequência se aproximam quando
cresce indefinidamente. - Propriedades de Potências: Entender como expressões com potências se comportam conforme a base cresce.
- Teorema do Confronto (Sandwich Theorem): Usado para determinar limites quando uma expressão está “entre” outras duas cujo limite é conhecido.
Vamos precisar usar propriedades de limites e um pouco de análise das funções de potência para resolver esse problema.
Passo 2
Analisando os Termos da Sequência
Primeiro, vamos olhar para os termos individuais da sequência:
Sabemos que
cresce sem limite conforme
aumenta porque
. Porém, como
, o crescimento é mais lento que uma função linear.
A diferença entre esses termos,
, nos interessa para determinar para onde essa sequência está indo.
Passo 3
Simplificando a Expressão para Facilitar o Cálculo do Limite
Vamos tentar simplificar a expressão
:
Podemos reescrever isso fatorando
:
Aqui, dividimos
por
para obter uma expressão que envolve
, o que é útil quando
tende ao infinito.
Passo 4
Aplicando o Limite Conforme
Vai para o Infinito
Agora, vamos analisar o limite quando
:
Sabemos que
pode ser aproximado por
quando
é grande (usando a expansão de Taylor para potências).
Então:
Substituindo na expressão do limite:
Passo 5
Determinação do Limite Final
Agora, observamos a expressão
. Como
, então
. Isso significa que:
Multiplicando pelo coeficiente
:
Resposta
O limite da sequência
, para
, é 0.