Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por a_n, justificando suas operações
a_n = (n + 1)^(alpha) - n^(alpha), sendo 0 < alpha < 1. R.: 0

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos calcular o limite da sequência cujo termo geral é dado por:
onde .
Conteúdo da Matéria:
  • Limites de Sequências: Estudar para onde os termos da sequência se aproximam quando cresce indefinidamente.
  • Propriedades de Potências: Entender como expressões com potências se comportam conforme a base cresce.
  • Teorema do Confronto (Sandwich Theorem): Usado para determinar limites quando uma expressão está “entre” outras duas cujo limite é conhecido.
Vamos precisar usar propriedades de limites e um pouco de análise das funções de potência para resolver esse problema.

Passo 2

Analisando os Termos da Sequência
Primeiro, vamos olhar para os termos individuais da sequência:
Sabemos que cresce sem limite conforme aumenta porque . Porém, como , o crescimento é mais lento que uma função linear.
A diferença entre esses termos, , nos interessa para determinar para onde essa sequência está indo.

Passo 3

Simplificando a Expressão para Facilitar o Cálculo do Limite
Vamos tentar simplificar a expressão :
Podemos reescrever isso fatorando :
Aqui, dividimos por para obter uma expressão que envolve , o que é útil quando tende ao infinito.

Passo 4

Aplicando o Limite Conforme Vai para o Infinito
Agora, vamos analisar o limite quando :
Sabemos que pode ser aproximado por quando é grande (usando a expansão de Taylor para potências).
Então:
Substituindo na expressão do limite:

Passo 5

Determinação do Limite Final
Agora, observamos a expressão . Como , então . Isso significa que:
Multiplicando pelo coeficiente :

Resposta

O limite da sequência , para , é 0.

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