Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A questão pede para encontrarmos os pontos críticos da função , classificá-los como máximos ou mínimos, e também determinar onde o gráfico é côncavo para baixo, côncavo para cima, além de identificar os possíveis pontos de inflexão.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda. As derivadas nos ajudam a entender como a função se comporta em termos de crescimento, decrescimento e curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe.
A função dada é:
Vamos calcular a derivada primeira:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos classificar esse ponto crítico como máximo ou mínimo. Para isso, usamos a derivada segunda, que nos informa sobre a concavidade da função.
Primeira derivada:
Derivada segunda:
Como é sempre positiva, isso indica que a função é côncava para cima em todo o seu domínio. Portanto, o ponto crítico em é um mínimo.

Passo 4

Agora, vamos determinar onde o gráfico é côncavo para baixo ou côncavo para cima e identificar os pontos de inflexão.
A concavidade é determinada pelo sinal da derivada segunda .
  • Se : concavidade para cima.
  • Se : concavidade para baixo.
  • Se : possível ponto de inflexão.
No nosso caso:
Isso significa que é sempre positivo. Então:
  • A função é côncava para cima em todo o seu domínio.
  • Não há intervalos onde a função é côncava para baixo.
  • Não há pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.

Resposta

O ponto crítico está em e é um mínimo. A função é côncava para cima em todo o seu domínio e não possui intervalos de concavidade para baixo nem pontos de inflexão.

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Determine os pontos críticos das funções abaixo:
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