Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A questão pede para encontrarmos os pontos críticos da função
, classificá-los como máximos ou mínimos, e também determinar onde o gráfico é côncavo para baixo, côncavo para cima, além de identificar os possíveis pontos de inflexão.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda. As derivadas nos ajudam a entender como a função se comporta em termos de crescimento, decrescimento e curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe.
A função dada é:
Vamos calcular a derivada primeira:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos classificar esse ponto crítico como máximo ou mínimo. Para isso, usamos a derivada segunda, que nos informa sobre a concavidade da função.
Primeira derivada:
Derivada segunda:
Como
é sempre positiva, isso indica que a função é côncava para cima em todo o seu domínio. Portanto, o ponto crítico em
é um mínimo.
Passo 4
Agora, vamos determinar onde o gráfico é côncavo para baixo ou côncavo para cima e identificar os pontos de inflexão.
A concavidade é determinada pelo sinal da derivada segunda
.
- Se
: concavidade para cima. - Se
: concavidade para baixo. - Se
: possível ponto de inflexão.
No nosso caso:
Isso significa que
é sempre positivo. Então:
- A função é côncava para cima em todo o seu domínio.
- Não há intervalos onde a função é côncava para baixo.
- Não há pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.
Resposta
O ponto crítico está em
e é um mínimo. A função
é côncava para cima em todo o seu domínio e não possui intervalos de concavidade para baixo nem pontos de inflexão.
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Determine os pontos críticos das funções abaixo:
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