Encontre os pontos críticos das seguintes funções: f(x) = raiz(x) * (1 - x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e descobrir onde essa derivada é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então, se e , a derivada fica:

Passo 3

Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, substituímos , , e na expressão da derivada:
Simplificando:

Passo 5

Vamos juntar os termos em um único denominador:

Passo 6

Agora, para achar os pontos críticos, precisamos ver onde ou onde não existe.
  1. Onde :
  1. Onde não existe:
    A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Porém, olhando a função original, também não está definida para , então consideramos como um ponto crítico.

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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