Se
é um polinômio qualquer, portanto,
também é um polinômio. Mostre que entre duas raízes distintas de
existe pelo menos uma raiz de
.
Passo 1
Então, a gente tem um polinômio
e a sua derivada
, que também é um polinômio. A tarefa é mostrar que se
tem duas raízes diferentes, ou seja, dois valores de
que fazem
, então necessariamente existe pelo menos uma raiz de
entre essas duas raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Rolle, que é uma ferramenta da matemática que relaciona funções contínuas e diferenciáveis com suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é uma raiz de um polinômio. Uma raiz de
é um valor de
onde
. Então, se temos duas raízes distintas, digamos
e
, isso significa que
e
, e
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema de Rolle. Esse teorema diz que se uma função
é contínua no intervalo
, diferenciável no intervalo aberto
, e
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema de Rolle ao nosso polinômio
. Sabemos que
é contínuo e diferenciável em todo lugar (já que polinômios são funções suaves). Como temos
, todas as condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas no intervalo
. Portanto, existe pelo menos um ponto
entre
e
onde
.
Resposta
Assim, mostramos que entre duas raízes distintas de
, existe pelo menos uma raiz de
.
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(para i) pode considerar que
)
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