Se f(x) é um polinômio qualquer, portanto, f'(x) também é um polinômio. Mostre que entre duas raízes distintas de f(x) existe pelo menos uma raiz de f'(x).

Passo 1

Então, a gente tem um polinômio e a sua derivada , que também é um polinômio. A tarefa é mostrar que se tem duas raízes diferentes, ou seja, dois valores de que fazem , então necessariamente existe pelo menos uma raiz de entre essas duas raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Rolle, que é uma ferramenta da matemática que relaciona funções contínuas e diferenciáveis com suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é uma raiz de um polinômio. Uma raiz de é um valor de onde . Então, se temos duas raízes distintas, digamos e , isso significa que e , e .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema de Rolle. Esse teorema diz que se uma função é contínua no intervalo , diferenciável no intervalo aberto , e , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada .

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Rolle ao nosso polinômio . Sabemos que é contínuo e diferenciável em todo lugar (já que polinômios são funções suaves). Como temos , todas as condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas no intervalo . Portanto, existe pelo menos um ponto entre e onde .

Resposta

Assim, mostramos que entre duas raízes distintas de , existe pelo menos uma raiz de .

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