Uma fábrica produz
milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por
, e o valor obtido na venda é dado por
, determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fábrica que produz
milhares de unidades por mês de um artigo. O custo de produção é dado por
e a receita de venda é
. Nosso objetivo aqui é encontrar o número ótimo de unidades mensais que vai maximizar o lucro
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o máximo da função lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função lucro
, que é a diferença entre a receita e o custo. Então:
Vamos simplificar isso:
Passo 3
Agora, para encontrar o máximo lucro, precisamos encontrar onde a derivada da função lucro em relação a
é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do lucro em relação a
. Então, vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Vamos igualar essa derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -6:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Como
representa a quantidade de unidades produzidas, não faz sentido ter um valor negativo. Portanto, descartamos
e ficamos com
.
Passo 7
Para confirmar que esse ponto é um máximo, podemos verificar a segunda derivada:
Substituindo
:
Como a segunda derivada é negativa, isso confirma que temos um máximo no ponto
.
Resposta
O número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro é
mil unidades.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 1 a 20, ache os números críticos da função dada.
Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
6- Uma partícula que vive em uma dimensão espacial tem a função de onda
onde
e b são parâmetros reais (
). (a) Normalizar a função de onda dessa partícula, assim achar A como função de outros parâmetros.
8- Em um oscilador harmônico clássico, a partícula não pode ir além dos pontos em que a energia total é igual à energia potencial. Classicamente, esses pontos são conhecidos como pontos de retorno. Considere uma partícula que possui a energia do estado fundamental do oscilador harmônico quântico.
b. No caso quântico, indique como poderia ser obtida a probabilidade de encontrar a partícula na região proibida classicamente.
b. No caso quântico, indique como poderia ser obtida a probabilidade de encontrar a partícula na região proibida classicamente.