Uma fábrica produz milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por , e o valor obtido na venda é dado por , determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fábrica que produz milhares de unidades por mês de um artigo. O custo de produção é dado por e a receita de venda é . Nosso objetivo aqui é encontrar o número ótimo de unidades mensais que vai maximizar o lucro . Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o máximo da função lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função lucro , que é a diferença entre a receita e o custo. Então:
Vamos simplificar isso:

Passo 3

Agora, para encontrar o máximo lucro, precisamos encontrar onde a derivada da função lucro em relação a é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do lucro em relação a . Então, vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Vamos igualar essa derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -6:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Como representa a quantidade de unidades produzidas, não faz sentido ter um valor negativo. Portanto, descartamos e ficamos com .

Passo 7

Para confirmar que esse ponto é um máximo, podemos verificar a segunda derivada:
Substituindo :
Como a segunda derivada é negativa, isso confirma que temos um máximo no ponto .

Resposta

O número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro é mil unidades.

Exercícios relacionados

Nos Exercícios de 1 a 20, ache os números críticos da função dada.
Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
6- Uma partícula que vive em uma dimensão espacial tem a função de onda
onde e b são parâmetros reais ( ). (a) Normalizar a função de onda dessa partícula, assim achar A como função de outros parâmetros.
8- Em um oscilador harmônico clássico, a partícula não pode ir além dos pontos em que a energia total é igual à energia potencial. Classicamente, esses pontos são conhecidos como pontos de retorno. Considere uma partícula que possui a energia do estado fundamental do oscilador harmônico quântico.
b. No caso quântico, indique como poderia ser obtida a probabilidade de encontrar a partícula na região proibida classicamente.