Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por C=2 x^3+6 x^2+18 x+60, e o valor obtido na venda é dado por V=60 x-12 x^2, determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro L=V-C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fábrica que produz x milhares de unidades por mês de um artigo. O custo de produção é dado por C=2 x^3+6 x^2+18 x+60 e a receita de venda é V=60 x-12 x^2. Nosso objetivo aqui é encontrar o número ótimo de unidades mensais que vai maximizar o lucro L=V-C. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o máximo da função lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função lucro L, que é a diferença entre a receita e o custo. Então:
L = V - C = (60x - 12x^2) - (2x^3 + 6x^2 + 18x + 60)
Vamos simplificar isso:
L = 60x - 12x^2 - 2x^3 - 6x^2 - 18x - 60
L = -2x^3 - 18x^2 + 42x - 60

Passo 3

Agora, para encontrar o máximo lucro, precisamos encontrar onde a derivada da função lucro em relação a x é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do lucro em relação a x. Então, vamos calcular a derivada de L:
dLdx = -6x^2 - 36x + 42

Passo 4

Vamos igualar essa derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
-6x^2 - 36x + 42 = 0
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -6:
x^2 + 6x - 7 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de x. Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a=1, b=6, e c=-7. Substituindo:
x = -6 pm raiz36 + 282
x = -6 pm raiz642
x = -6 pm 82
Então, temos duas soluções:
x = 22 = 1 ou x = -142 = -7

Passo 6

Como x representa a quantidade de unidades produzidas, não faz sentido ter um valor negativo. Portanto, descartamos x = -7 e ficamos com x = 1.

Passo 7

Para confirmar que esse ponto é um máximo, podemos verificar a segunda derivada:
d^2Ldx^2 = -12x - 36
Substituindo x = 1:
d^2Ldx^2 = -12(1) - 36 = -48
Como a segunda derivada é negativa, isso confirma que temos um máximo no ponto x = 1.

Resposta

O número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro é x = 1 mil unidades.

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