Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:
(i) f(x) = { 3 - 4x, x > 0; 4x + 3, x <= 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, além dos pontos máximos e mínimos relativos. A função que vamos analisar é uma função por partes:
Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o crescimento e decrescimento de funções lineares e verificar como elas se comportam em cada intervalo definido.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. A função está dividida em duas partes:
  1. Para :
    Essa é uma função linear da forma . O coeficiente aqui é -4.
  2. Para :
    Também uma função linear, com coeficiente .
O coeficiente na função linear nos indica a inclinação da reta:
  • Se , a função é crescente.
  • Se , a função é decrescente.

Passo 3

Vamos aplicar isso às duas partes da função:
  1. Para :
    Como é negativo, a função está decrescente nesse intervalo.
  2. Para :
    Aqui, é positivo, então a função está crescente nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos verificar se há algum ponto onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, o que pode indicar pontos máximos ou mínimos relativos. Olhando para a função por partes, a mudança ocorre em .
Vamos calcular :
Agora, vamos ver os limites quando se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda:
  • Para :
  • Para :
Como os limites são iguais e a função não tem descontinuidade em , não há ponto de máximo ou mínimo nesse ponto. A função continua contínua e suave.

Resposta

  • Intervalos de Crescimento:
  • Intervalos de Decrescimento:
  • Não há pontos de máximo ou mínimo relativos.

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