Encontre os pontos na curva y=x^4-4 x^3+4 x^2 onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva $ y = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} $ onde a reta tangente é horizontal. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre derivadas e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero, pois uma derivada zero indica uma reta tangente horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ y = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y = x^4 - 4x^3 + 4x^2

Passo 3

Agora que temos a expressão da derivada, queremos encontrar os valores de $ x $ onde essa derivada é igual a zero, pois isso significa que a inclinação da reta tangente é zero (ou seja, horizontal).
Então, resolvemos:
x
Vamos fatorar a equação:
4x^3 - 12x^2 + 8x = 0
Continuando a fatoração:
4x(x^2 - 3x + 2) = 0
Isso nos dá três soluções para $ x $:
4x(x - 1)(x - 2) = 0

Passo 4

Agora que temos os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ substituindo cada $ x $ na função original $ y = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} $.
Para $ x = 0 $:
x
Portanto, o ponto é $ (0, 0) $.
Para $ x = 1 $:
y
Portanto, o ponto é $ (1, 1) $.
Para $ x = 2 $:
x
Portanto, o ponto é $ (2, 0) $.

Resposta

Os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal são $ (0,\ 0) $, $ (1,\ 1) $ e $ (2,\ 0) $.

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