Calcule a integral indefinida.
integral 1x(1+ln x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de 1x(1+ln x)^2 em relação a x. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da integral que pode ser substituída. Note que temos ln x dentro do denominador. Uma boa estratégia aqui é definir uma nova variável que represente esse termo. Vamos chamar:
u = 1 + ln x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para fazer a substituição correta. Calculando:
dudx = 1x
Isso significa que:
du = 1x dx

Passo 4

Com essa substituição, podemos reescrever toda a integral em termos de u. Substituindo 1x dx por du e 1 + ln x por u, a integral fica:
integral 1x(1+ln x)^2 dx = integral 1u^2 du

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral simplificada:
integral 1u^2 du
Sabemos que a integral de u^-2 em relação a u é:
integral u^-2 du = -u^-1 + C = -1u + C

Passo 6

Finalmente, vamos voltar à variável original x substituindo u por 1 + ln x:
-1u + C = -11 + ln x + C

Resposta

A integral indefinida é:
-11 + ln x + C

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