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Encontre os pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar onde a função é descontínua e em quais desses pontos ela é contínua pela direita, pela esquerda ou nem por nenhum lado. Além disso, precisamos desenhar o gráfico da função. A função dada é uma função por partes, então vamos usar conceitos de continuidade e limites para analisar cada pedaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função pode ter descontinuidade. Como é definida por partes diferentes em intervalos distintos, os possíveis pontos de descontinuidade são onde muda a definição da função, ou seja, nos pontos e .
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em cada um desses pontos.
Ponto :
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (), a função apresenta descontinuidade em . Além disso, a função é contínua pela esquerda (porque o limite pela esquerda existe e é igual ao valor da função) mas descontínua pela direita.
Ponto :
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Valor da função em :
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em . Portanto, a função é contínua em .
Passo 4
Agora, vamos resumir:
Descontinuidades: A função é descontínua em .
Em :
Contínua pela esquerda
Descontínua pela direita
Continuidade:
A função é contínua em .
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função :
Para : é uma parábola que abre para cima, passando por .
Para : é uma reta decrescente que vai de a .
Para : é outra parábola que abre para cima, começando em .
No ponto , vemos que há um salto vertical, indicando a descontinuidade. Em , as funções se encontram de forma contínua.
Resposta
A função é descontínua em . Nesse ponto, é contínua pela esquerda, mas descontínua pela direita. A função é contínua em . O gráfico de apresenta uma quebra em e é contínuo em .