8
Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de f.
(a) f(x) = { 1 + x^2, x <= 0; 2 - x, 0 < x <= 2; (x - 2)^2, x > 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar onde a função é descontínua e em quais desses pontos ela é contínua pela direita, pela esquerda ou nem por nenhum lado. Além disso, precisamos desenhar o gráfico da função. A função dada é uma função por partes, então vamos usar conceitos de continuidade e limites para analisar cada pedaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função pode ter descontinuidade. Como é definida por partes diferentes em intervalos distintos, os possíveis pontos de descontinuidade são onde muda a definição da função, ou seja, nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em cada um desses pontos.

Ponto :

  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), a função apresenta descontinuidade em . Além disso, a função é contínua pela esquerda (porque o limite pela esquerda existe e é igual ao valor da função) mas descontínua pela direita.

Ponto :

  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em :
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em . Portanto, a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos resumir:
  • Descontinuidades: A função é descontínua em .
    • Em :
      • Contínua pela esquerda
      • Descontínua pela direita
  • Continuidade:
    • A função é contínua em .

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função :
  • Para : é uma parábola que abre para cima, passando por .
  • Para : é uma reta decrescente que vai de a .
  • Para : é outra parábola que abre para cima, começando em .
No ponto , vemos que há um salto vertical, indicando a descontinuidade. Em , as funções se encontram de forma contínua.

Resposta

A função é descontínua em . Nesse ponto, é contínua pela esquerda, mas descontínua pela direita. A função é contínua em . O gráfico de apresenta uma quebra em e é contínuo em .

Exercícios relacionados