A equação diferencial
(1 - x^2) y'' - x y' + alpha^2 y = 0
em que alpha é constante. É chamada de Equação de Chebyshev.
(a) Determine duas soluções em séries de potências de x para |x| < 1 e mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Chebyshev. A equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem. Nosso objetivo aqui é encontrar duas soluções em séries de potências de para e mostrar que essas soluções formam um conjunto fundamental. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de potências, derivadas e métodos para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências centrada em . Ou seja,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de que vamos usar na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial dada:
Isso fica:

Passo 5

Vamos distribuir os termos:

Passo 6

Para facilitar a soma, ajustamos os índices das séries para que todas comecem em . Vamos fazer as substituições de índices:
Para a primeira soma, deixe , então:
Mantemos as outras somas:

Passo 7

Agora, reescrevemos todas as séries com o mesmo índice:
Para unificar, notamos que os termos para e na primeira e última séries não concorrem nas outras somas, então podemos escrever:

Passo 8

Simplificamos a equação para :
Isso simplifica para:
Ou seja,

Passo 9

Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes em termos de . Começamos definindo e como constantes arbitrárias, geralmente tomadas como 1 e 0 para obter as duas soluções lineares independentes.
Para a primeira solução, escolhemos e . Assim, apenas os termos pares serão diferentes de zero.
Para a segunda solução, escolhemos e . Assim, apenas os termos ímpares serão diferentes de zero.

Passo 10

Vamos construir a primeira solução com e :
E assim por diante. Portanto,

Passo 11

Agora, construímos a segunda solução com e :
E assim por diante. Portanto,

Passo 12

Para mostrar que e formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos verificar que são linearmente independentes. Isso pode ser feito calculando o Wronskiano e verificando se é diferente de zero.
O Wronskiano é dado por:
Calculando o Wronskiano para as soluções encontradas, observamos que ele não se anula para , o que confirma a linear independência das soluções.

Resposta

Duas soluções em séries de potências para a Equação de Chebyshev são:
Essas soluções formam um conjunto fundamental para .

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