A equação diferencial
em que
é constante. É chamada de Equação de Chebyshev.
(a) Determine duas soluções em séries de potências de
para
e mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções.
(a) Determine duas soluções em séries de potências de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Chebyshev. A equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem. Nosso objetivo aqui é encontrar duas soluções em séries de potências de
para
e mostrar que essas soluções formam um conjunto fundamental. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de potências, derivadas e métodos para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências centrada em
. Ou seja,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
que vamos usar na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial dada:
Isso fica:
Passo 5
Vamos distribuir os termos:
Passo 6
Para facilitar a soma, ajustamos os índices das séries para que todas comecem em
. Vamos fazer as substituições de índices:
Para a primeira soma, deixe
, então:
Mantemos as outras somas:
Passo 7
Agora, reescrevemos todas as séries com o mesmo índice:
Para unificar, notamos que os termos para
e
na primeira e última séries não concorrem nas outras somas, então podemos escrever:
Passo 8
Simplificamos a equação para
:
Isso simplifica para:
Ou seja,
Passo 9
Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes
em termos de
. Começamos definindo
e
como constantes arbitrárias, geralmente tomadas como 1 e 0 para obter as duas soluções lineares independentes.
Para a primeira solução, escolhemos
e
. Assim, apenas os termos pares serão diferentes de zero.
Para a segunda solução, escolhemos
e
. Assim, apenas os termos ímpares serão diferentes de zero.
Passo 10
Vamos construir a primeira solução
com
e
:
E assim por diante. Portanto,
Passo 11
Agora, construímos a segunda solução
com
e
:
E assim por diante. Portanto,
Passo 12
Para mostrar que
e
formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos verificar que são linearmente independentes. Isso pode ser feito calculando o Wronskiano
e verificando se é diferente de zero.
O Wronskiano é dado por:
Calculando o Wronskiano para as soluções encontradas, observamos que ele não se anula para
, o que confirma a linear independência das soluções.
Resposta
Duas soluções em séries de potências para a Equação de Chebyshev são:
Essas soluções formam um conjunto fundamental para
.