(b) (1 ponto) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^2 + x ponto (1, f(1)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de diferencial e derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular para saber as coordenadas completas do ponto de tangência. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A derivada de é e a derivada de é , então:

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Portanto, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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