Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
b) uma função tal que mas para todo ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar uma função que, ao integrarmos de 0 a 1, o resultado seja maior que zero, ou seja, . Porém, essa função deve ser negativa em todo o intervalo de de 0 a 0.9, ou seja, para todo . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a integral de uma função e como podemos ajustar a função para que a área total sob a curva seja positiva, mesmo sendo negativa na maior parte do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função no intervalo representa a área líquida sob a curva dessa função entre esses pontos. Se a função for negativa, essa área será negativa, e se for positiva, será positiva. Nosso objetivo é que a área total de de 0 a 1 seja positiva, mesmo que seja negativa de 0 a 0.9. Isso significa que, para compensar a área negativa de 0 a 0.9, precisamos que a área de 0.9 a 1 seja suficientemente grande e positiva para que o total seja maior que zero.

Passo 3

Vamos construir uma função simples que satisfaça essas condições. Podemos definir como uma função negativa constante de 0 a 0.9 e, em seguida, uma função positiva de 0.9 a 1. Por exemplo:
Aqui, é uma constante positiva que vamos determinar para garantir que a integral total seja maior que zero.

Passo 4

Vamos calcular a integral dessa função de 0 a 1:
Calculando cada parte:
Então, a integral total é:

Passo 5

Queremos que essa integral seja maior que zero:
Resolvendo para :
Então, a constante precisa ser maior que 9 para que a integral total seja positiva.

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz as condições é:
Aqui, escolhemos , que é maior que 9, garantindo que .

Exercícios relacionados

,
não aplica
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
(b) ,
Esboce o gráfico da função quando é uma das funções a seguir ( é parte inteira de )
a) ,