Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
b) uma função f tal que integral0^1 f>0 mas f(x)<0 para todo x in[0,0.9];

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar uma função que, ao integrarmos de 0 a 1, o resultado seja maior que zero, ou seja, . Porém, essa função deve ser negativa em todo o intervalo de de 0 a 0.9, ou seja, para todo . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a integral de uma função e como podemos ajustar a função para que a área total sob a curva seja positiva, mesmo sendo negativa na maior parte do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função no intervalo representa a área líquida sob a curva dessa função entre esses pontos. Se a função for negativa, essa área será negativa, e se for positiva, será positiva. Nosso objetivo é que a área total de de 0 a 1 seja positiva, mesmo que seja negativa de 0 a 0.9. Isso significa que, para compensar a área negativa de 0 a 0.9, precisamos que a área de 0.9 a 1 seja suficientemente grande e positiva para que o total seja maior que zero.

Passo 3

Vamos construir uma função simples que satisfaça essas condições. Podemos definir f(x) = -1, & se 0 <= x < 0.9 a, & se 0.9 <= x <= 1 como uma função negativa constante de 0 a 0.9 e, em seguida, uma função positiva de 0.9 a 1. Por exemplo:
Aqui, é uma constante positiva que vamos determinar para garantir que a integral total seja maior que zero.

Passo 4

Vamos calcular a integral dessa função de 0 a 1:
integral0^1 f(x) , dx = integral0^0.9 (-1) , dx + integral0.9^1 a , dx
Calculando cada parte:
integral0^0.9 (-1) , dx = -1 times (0.9 - 0) = -0.9
integral0.9^1 a , dx = a times (1 - 0.9) = 0.1a
Então, a integral total é:
integral0^1 f(x) , dx = -0.9 + 0.1a

Passo 5

Queremos que essa integral seja maior que zero:
-0.9 + 0.1a > 0
Resolvendo para 0.1a > 0.9 a > 0.90.1 a > 9 :
Então, a constante precisa ser maior que 9 para que a integral total seja positiva.

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz as condições é:
f(x) = -1, & se 0 <= x < 0.9 10, & se 0.9 <= x <= 1
Aqui, escolhemos , que é maior que 9, garantindo que .

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