Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
b) uma função
tal que
mas
para todo
;
b) uma função
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar uma função
que, ao integrarmos de 0 a 1, o resultado seja maior que zero, ou seja,
. Porém, essa função
deve ser negativa em todo o intervalo de
de 0 a 0.9, ou seja,
para todo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a integral de uma função e como podemos ajustar a função para que a área total sob a curva seja positiva, mesmo sendo negativa na maior parte do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função no intervalo
representa a área líquida sob a curva dessa função entre esses pontos. Se a função for negativa, essa área será negativa, e se for positiva, será positiva. Nosso objetivo é que a área total de
de 0 a 1 seja positiva, mesmo que
seja negativa de 0 a 0.9. Isso significa que, para compensar a área negativa de 0 a 0.9, precisamos que a área de 0.9 a 1 seja suficientemente grande e positiva para que o total seja maior que zero.
Passo 3
Vamos construir uma função simples que satisfaça essas condições. Podemos definir
como uma função negativa constante de 0 a 0.9 e, em seguida, uma função positiva de 0.9 a 1. Por exemplo:
Aqui,
é uma constante positiva que vamos determinar para garantir que a integral total seja maior que zero.
Passo 4
Vamos calcular a integral dessa função de 0 a 1:
Calculando cada parte:
Então, a integral total é:
Passo 5
Queremos que essa integral seja maior que zero:
Resolvendo para
:
Então, a constante
precisa ser maior que 9 para que a integral total seja positiva.
Resposta
Um exemplo de função que satisfaz as condições é:
Aqui, escolhemos
, que é maior que 9, garantindo que
.
Exercícios relacionados
não aplica
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(b) ,
(b)
Esboce o gráfico da função
quando
é uma das funções a seguir (
é parte inteira de
)
a) ,
a)