Encontre a primitiva ou antiderivada F de f que satisfaça a condição dada f(x) = x^3 + 2, F(1) = 1/4.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primitiva ou antiderivada da função que satisfaça a condição . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de antiderivadas em Cálculo, e precisaremos aplicar as regras de integração para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada geral da função . A antiderivada de uma função é uma função cuja derivada é igual a . Para integrar , vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 3

A integral de em relação a é . Isso porque, ao aplicar a regra da potência para integração, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente:

Passo 4

A integral de em relação a é . Isso ocorre porque a integral de uma constante em relação a é :

Passo 5

Assim, a antiderivada geral é a soma das integrais que calculamos, mais uma constante de integração :

Passo 6

Agora, vamos usar a condição para encontrar o valor de . Substituímos por 1 na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para :
Portanto:

Resposta

A primitiva de que satisfaz é:

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