Encontre a primitiva ou antiderivada
de
que satisfaça a condição dada
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primitiva ou antiderivada
da função
que satisfaça a condição
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de antiderivadas em Cálculo, e precisaremos aplicar as regras de integração para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada geral da função
. A antiderivada de uma função é uma função
cuja derivada é igual a
. Para integrar
, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 3
A integral de
em relação a
é
. Isso porque, ao aplicar a regra da potência para integração, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente:
Passo 4
A integral de
em relação a
é
. Isso ocorre porque a integral de uma constante
em relação a
é
:
Passo 5
Assim, a antiderivada geral
é a soma das integrais que calculamos, mais uma constante de integração
:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição
para encontrar o valor de
. Substituímos
por 1 na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Portanto:
Resposta
A primitiva de
que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Encontre
pela derivação implícita de:
Encontre
Encontre a primitiva ou antiderivada
de
que satisfaça a condição dada
Calcule as seguintes integrais imediatas: