Encontre uma primitiva para as funções:
a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma primitiva para a função . Isso significa que queremos encontrar uma função tal que .
Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de integração muito útil quando temos uma função composta. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples. Olha só, dentro do cosseno temos . Vamos chamar isso de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Fazendo a derivada de ambos os lados:
Isso significa que:

Passo 4

Perceba que na nossa função original, temos , mas na expressão aparece . Para ajustar isso, podemos reescrever em termos de :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original usando e :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando em relação a é bem simples:
Então, voltando ao nosso caso:

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta para , já que :

Resposta

A primitiva de é:

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Use 4 retângulos para estimar, por cima e por baixo, a área sob a parábola de 0 até 1 .
Encontre uma primitiva para as funções:
c) .
Encontre o domínio e esboce o gráfico de