Encontre o domínio e esboce o gráfico de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função e esboçar o gráfico dela. Isso envolve entender um pouco de funções racionais e como encontrar onde a função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, que são frações de polinômios, o denominador não pode ser igual a zero porque não dá para dividir por zero.

Passo 3

Então, vamos identificar onde o denominador é igual a zero:
Isso significa que quando , a função não está definida. Portanto, o domínio de são todos os números reais, exceto .

Passo 4

Agora, vamos simplificar a função para facilitar o esboço do gráfico. Vamos fatorar o numerador:
Assim, a função fica:

Passo 5

Podemos simplificar a fração, cancelando o termo , mas lembrando que :

Passo 6

A função simplificada é uma reta , que tem uma inclinação de 1 e intercepta o eixo em 3. Porém, como não está no domínio original, haverá um ponto de descontinuidade nesse ponto, conhecido como buraco no gráfico.

Passo 7

Para encontrar o valor do buraco, substituímos na função simplificada:
Então, há um buraco no ponto .

Resposta

Domínio: Todos os números reais exceto .
Gráfico: É uma reta com inclinação 1 e intercepto em 3, com um buraco no ponto .

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a) .
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