Encontre a probabilidade de que uma amostra aleatória de 25 observações, tomada de uma população Normal com variância sigma^2=9, tenha uma variância amostral S^2 entre 4,071 e 15,10125 .
R. 0,965 .

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício de probabilidade que envolve variância amostral. O problema pede para encontrar a probabilidade de que, numa amostra aleatória de 25 observações tirada de uma população Normal com variância σ² = 9, a variância amostral S² esteja entre 4,071 e 15,10125. Para isso, vamos utilizar conceitos de distribuição qui-quadrado, que é essencial quando trabalhamos com variâncias de amostras provenientes de populações normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando a população é Normal, a variância amostral S² segue uma distribuição qui-quadrado (χ²). A relação é dada por:
(n - 1)S^2sigma^2 sim chi^2n-1
Aqui:
  • $ n $ é o tamanho da amostra (no nosso caso, 25).
  • $ S^{2} $ é a variância amostral.
  • $ \sigma^{2} $ é a variância da população (9).
  • $ \chi^{2}_{n-1} $ é a distribuição qui-quadrado com $ n - 1 $ graus de liberdade.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para transformar os limites da variância amostral em valores da distribuição qui-quadrado. Precisamos encontrar os valores correspondentes a 4,071 e 15,10125.
Primeiro, calculamos os graus de liberdade:
Graus de liberdade = n - 1 = 25 - 1 = 24
Agora, transformamos os limites:
chi^2inferior = (25 - 1) times 4,0719
chi^2superior = (25 - 1) times 15,101259

Passo 4

Vamos calcular esses valores:
chi^2inferior = 24 times 4,0719 = 97,7049 approx 10,856
chi^2superior = 24 times 15,101259 = 362,439 approx 40,27

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a variável qui-quadrado com 24 graus de liberdade esteja entre aproximadamente 10,856 e 40,27. Ou seja:
P(10,856 <= chi^224 <= 40,27)
Para isso, usamos tabelas de distribuição qui-quadrado ou uma calculadora estatística que fornece a função de distribuição acumulada (CDF) da qui-quadrado.

Passo 6

Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos:
P(chi^224 <= 40,27) approx 0,9825
P(chi^224 <= 10,856) approx 0,0175
Então, a probabilidade desejada é:
0,9825 - 0,0175 = 0,965

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,965.

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