Encontre a probabilidade de que uma amostra aleatória de 25 observações, tomada de uma população Normal com variância
, tenha uma variância amostral
entre 4,071 e 15,10125 .
R. 0,965 .
R. 0,965 .
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício de probabilidade que envolve variância amostral. O problema pede para encontrar a probabilidade de que, numa amostra aleatória de 25 observações tirada de uma população Normal com variância σ² = 9, a variância amostral S² esteja entre 4,071 e 15,10125. Para isso, vamos utilizar conceitos de distribuição qui-quadrado, que é essencial quando trabalhamos com variâncias de amostras provenientes de populações normais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando a população é Normal, a variância amostral S² segue uma distribuição qui-quadrado (χ²). A relação é dada por:
Aqui:
- $ n $ é o tamanho da amostra (no nosso caso, 25).
- $ S^{2} $ é a variância amostral.
- $ \sigma^{2} $ é a variância da população (9).
- $ \chi^{2}_{n-1} $ é a distribuição qui-quadrado com $ n - 1 $ graus de liberdade.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para transformar os limites da variância amostral em valores da distribuição qui-quadrado. Precisamos encontrar os valores correspondentes a 4,071 e 15,10125.
Primeiro, calculamos os graus de liberdade:
Agora, transformamos os limites:
Passo 4
Vamos calcular esses valores:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a variável qui-quadrado com 24 graus de liberdade esteja entre aproximadamente 10,856 e 40,27. Ou seja:
Para isso, usamos tabelas de distribuição qui-quadrado ou uma calculadora estatística que fornece a função de distribuição acumulada (CDF) da qui-quadrado.
Passo 6
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos:
Então, a probabilidade desejada é:
Resposta
A probabilidade é aproximadamente 0,965.