Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros das peças:
,
,
. Suponha que a medidas para os diâmetros das peças tenha variância igual a 4 e que segue um modelo normal.
(a) Estimar a média e a variância.
(b) Determine a probabilidade que a variância amostral seja maior a 2?
R. 0,99.
(a) Estimar a média e a variância.
(b) Determine a probabilidade que a variância amostral seja maior a 2?
R. 0,99.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de medidas dos diâmetros das peças de uma fábrica e precisa resolver duas questões: estimar a média e a variância desses diâmetros, e descobrir a probabilidade de que a variância amostral seja maior que 2. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre médias, variância e distribuição normal. Vamos precisar calcular a média dos dados, entender a variância e aplicar a distribuição qui-quadrado para a segunda parte.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos diâmetros. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores.
Os diâmetros são: 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16.
Vamos somar todos esses valores:
10 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 14 + 14 + 14 + 14 + 14 + 15 + 15 + 15 + 16 + 16 = 388
Agora, contamos quantos valores temos. Tem 30 diâmetros.
Então, a média (
) é:
Passo 3
Agora, vamos estimar a variância. A variância mede o quanto os valores estão dispersos em relação à média. A fórmula da variância amostral (
) é:
Onde
são os valores individuais,
é a média, e
é o número de observações.
Primeiro, vamos calcular cada diferença ao quadrado:
Fazendo isso para todos os 30 valores e somando, obtemos aproximadamente 40.
Então, a variância amostral será:
Passo 4
Para a segunda parte, queremos encontrar a probabilidade de que a variância amostral seja maior que 2. Sabemos que, quando a população segue uma distribuição normal, a variância amostral
está relacionada à distribuição qui-quadrado (
).
A fórmula é:
Onde
é a variância populacional, que foi dado como 4, e
é o tamanho da amostra, que é 30.
Queremos encontrar
. Primeiro, calculamos o valor de
:
Agora, buscamos na tabela da distribuição qui-quadrado o valor correspondente a 14,5 com 29 graus de liberdade. A probabilidade de
ser maior que 14,5 é aproximadamente 0,99.
Resposta
(a) A média estimada é aproximadamente 12,93 e a variância estimada é aproximadamente 1,38.
(b) A probabilidade de que a variância amostral seja maior que 2 é 0,99.