Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros das peças: 10,11,11,11,12,12,12, 12,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,14,14,14,14,14,15, 15,15,16,16. Suponha que a medidas para os diâmetros das peças tenha variância igual a 4 e que segue um modelo normal.
(a) Estimar a média e a variância.
(b) Determine a probabilidade que a variância amostral seja maior a 2?
R. 0,99.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de medidas dos diâmetros das peças de uma fábrica e precisa resolver duas questões: estimar a média e a variância desses diâmetros, e descobrir a probabilidade de que a variância amostral seja maior que 2. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre médias, variância e distribuição normal. Vamos precisar calcular a média dos dados, entender a variância e aplicar a distribuição qui-quadrado para a segunda parte.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos diâmetros. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores.
Os diâmetros são: 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16.
Vamos somar todos esses valores:
10 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 14 + 14 + 14 + 14 + 14 + 15 + 15 + 15 + 16 + 16 = 388
Agora, contamos quantos valores temos. Tem 30 diâmetros.
Então, a média ( barx) é:
barx = 38830 approx 12,93

Passo 3

Agora, vamos estimar a variância. A variância mede o quanto os valores estão dispersos em relação à média. A fórmula da variância amostral ( s^2) é:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Onde xi são os valores individuais, barx é a média, e n é o número de observações.
Primeiro, vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(xi - 12,93)^2
Fazendo isso para todos os 30 valores e somando, obtemos aproximadamente 40.
Então, a variância amostral será:
s^2 = 4030 - 1 = 4029 approx 1,38

Passo 4

Para a segunda parte, queremos encontrar a probabilidade de que a variância amostral seja maior que 2. Sabemos que, quando a população segue uma distribuição normal, a variância amostral s^2 está relacionada à distribuição qui-quadrado ( chi^2).
A fórmula é:
chi^2 = (n - 1)s^2sigma^2
Onde sigma^2 é a variância populacional, que foi dado como 4, e n é o tamanho da amostra, que é 30.
Queremos encontrar P(s^2 > 2). Primeiro, calculamos o valor de chi^2:
chi^2 = (30 - 1) times 24 = 584 = 14,5
Agora, buscamos na tabela da distribuição qui-quadrado o valor correspondente a 14,5 com 29 graus de liberdade. A probabilidade de chi^2 ser maior que 14,5 é aproximadamente 0,99.

Resposta

(a) A média estimada é aproximadamente 12,93 e a variância estimada é aproximadamente 1,38.
(b) A probabilidade de que a variância amostral seja maior que 2 é 0,99.

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