Uma variável de Bernoulli com probabilidade de sucesso
é amostrada, de forma independente, duas vezes. Apresente a função de probabilidade da média amostra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável de Bernoulli com probabilidade de sucesso $ p $. Isso significa que em cada tentativa, temos apenas dois resultados possíveis: sucesso (com probabilidade $ p $) ou fracasso (com probabilidade $ 1-p $). A gente vai amostrar essa variável duas vezes, de forma independente, e precisa encontrar a função de probabilidade da média amostral. Basicamente, queremos saber quais são as possíveis médias que podemos obter e com que probabilidade cada uma ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os possíveis resultados dessas duas amostras. Como cada amostra pode dar sucesso (1) ou fracasso (0), as combinações são:
- Sucesso na primeira e segunda tentativa: $ (1, 1) $
- Sucesso na primeira e fracasso na segunda: $ (1, 0) $
- Fracasso na primeira e sucesso na segunda: $ (0, 1) $
- Fracasso na primeira e segunda tentativa: $ (0, 0) $
Agora, vamos calcular a média amostral para cada uma dessas combinações.
Passo 3
Vamos calcular a média $ \bar{X} $ para cada caso:
- Para $ (1, 1) $:
- Para $ (1, 0) $:
- Para $ (0, 1) $:
- Para $ (0, 0) $:
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada média ocorrer.
Passo 4
Vamos determinar as probabilidades de cada combinação:
- Probabilidade de $ (1, 1) $:
- Probabilidade de $ (1, 0) $:
- Probabilidade de $ (0, 1) $:
- Probabilidade de $ (0, 0) $:
Agora, agrupamos as probabilidades das médias iguais:
- Média $ 1 $: Apenas a combinação $ (1, 1) $, com probabilidade $ p^2 $.
- Média $ \frac{1}{2} $: As combinações $ (1, 0) $ e $ (0, 1) $, somando $ 2p(1 - p) $.
- Média $ 0 $: Apenas a combinação $ (0, 0) $, com probabilidade $ (1 - p)^2 $.