Uma variável de Bernoulli com probabilidade de sucesso p é amostrada, de forma independente, duas vezes. Apresente a função de probabilidade da média amostra.
R c|ccc barX & 0 & 1 / 2 & 1 hline pi & (1-p)^2 & 2 p(1-p) & p^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável de Bernoulli com probabilidade de sucesso $ p $. Isso significa que em cada tentativa, temos apenas dois resultados possíveis: sucesso (com probabilidade $ p $) ou fracasso (com probabilidade $ 1-p $). A gente vai amostrar essa variável duas vezes, de forma independente, e precisa encontrar a função de probabilidade da média amostral. Basicamente, queremos saber quais são as possíveis médias que podemos obter e com que probabilidade cada uma ocorre.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os possíveis resultados dessas duas amostras. Como cada amostra pode dar sucesso (1) ou fracasso (0), as combinações são:
  1. Sucesso na primeira e segunda tentativa: $ (1, 1) $
  2. Sucesso na primeira e fracasso na segunda: $ (1, 0) $
  3. Fracasso na primeira e sucesso na segunda: $ (0, 1) $
  4. Fracasso na primeira e segunda tentativa: $ (0, 0) $
Agora, vamos calcular a média amostral para cada uma dessas combinações.

Passo 3

Vamos calcular a média $ \bar{X} $ para cada caso:
  1. Para $ (1, 1) $: barX
  2. Para $ (1, 0) $: (1, 1)
  3. Para $ (0, 1) $: barX = 1 + 12 = 1
  4. Para $ (0, 0) $: (1, 0)
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada média ocorrer.

Passo 4

Vamos determinar as probabilidades de cada combinação:
  1. Probabilidade de $ (1, 1) $: (1, 1)
  2. Probabilidade de $ (1, 0) $: p times p = p^2
  3. Probabilidade de $ (0, 1) $: (1, 0)
  4. Probabilidade de $ (0, 0) $: p times (1 - p) = p(1 - p)
Agora, agrupamos as probabilidades das médias iguais:
  • Média $ 1 $: Apenas a combinação $ (1, 1) $, com probabilidade $ p^2 $.
  • Média $ \frac{1}{2} $: As combinações $ (1, 0) $ e $ (0, 1) $, somando $ 2p(1 - p) $.
  • Média $ 0 $: Apenas a combinação $ (0, 0) $, com probabilidade $ (1 - p)^2 $.

Resposta

Função de probabilidade da média amostral barX: c|ccc barX & 0 & 12 & 1 hline pi & (1-p)^2 & 2p(1-p) & p^2 çãé

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