Encontre a probabilidade de que uma partícula presa em uma caixa de largura possa ser encontrada entre e para os estados fundamental e primeiro estado excitado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta qual a probabilidade de encontrar uma partícula dentro de uma caixa de largura entre e para o estado fundamental e o primeiro estado excitado. Isso está ligado à mecânica quântica, especificamente ao modelo da partícula na caixa. Para resolver, vamos precisar das funções de onda desses estados e calcular a probabilidade através da integral do quadrado da função de onda nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as funções de onda para a partícula na caixa. Para uma caixa de largura , as funções de onda para os estados quantizados são dadas por:
onde é o número quântico (1 para o estado fundamental, 2 para o primeiro excitado, etc.).

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é calculada integrando o quadrado da função de onda sobre esse intervalo. Ou seja:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade para cada estado:

Estado Fundamental ( )

A probabilidade é:

Primeiro Estado Excitado ( )

A probabilidade é:

Passo 5

Vamos resolver as integrais usando a identidade trigonométrica .

Para :

Calculando:
Simplificando:
Sabendo que e (considerando propriedades de periodicidade da função seno):
Calculando numericamente:

Para :

Calculando:
Simplificando e sabendo que e :

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula entre e é aproximadamente:
  • Estado Fundamental ( ):
  • Primeiro Estado Excitado ( ):

Exercícios relacionados

Uma partícula se encontra em um poço quadrado infinito de largura L. Calcule a energia do estado fundamental (a) se a partícula é um próton e , o tamanho aproximado de uma molécula; (b) se a partícula é um próton e , o tamanho aproximado de um núcleo.
Raios X de comprimento de onda 200 pm incidem em uma placa de material metálico. Os raios X espalhados pelos elétrons são observados a um ângulo de 45 graus em relação a direção incidente. Qual é o comprimento de onda dos fótons espalhados?
Uma partícula em um poço infinito está no estado fundamental com uma energia de 1,26 eV . Quanta energia deve ser adicionada à partícula para atingir o segundo estado excitado ? 0 terceiro estado excitado ?
Em uma certa região do espaço, uma partícula é descrita pela função de onda onde e são constantes reais. Substituindo na equação de Schrödinger independente do tempo, encontre a energia potencial nesta região e também a energia da partícula. (Dica: sua solução deve fornecer uma energia que seja uma constante em toda a região, independente de .)