Encontre a probabilidade de que uma partícula presa em uma caixa L de largura possa ser encontrada entre 0,45 L e 0,55 L para os estados fundamental e primeiro estado excitado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta qual a probabilidade de encontrar uma partícula dentro de uma caixa de largura L entre 0,45L e 0,55L para o estado fundamental e o primeiro estado excitado. Isso está ligado à mecânica quântica, especificamente ao modelo da partícula na caixa. Para resolver, vamos precisar das funções de onda desses estados e calcular a probabilidade através da integral do quadrado da função de onda nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as funções de onda para a partícula na caixa. Para uma caixa de largura L, as funções de onda para os estados quantizados são dadas por:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL)
onde n é o número quântico (1 para o estado fundamental, 2 para o primeiro excitado, etc.).

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é calculada integrando o quadrado da função de onda sobre esse intervalo. Ou seja:
P = integrala^b |psin(x)|^2 dx
No nosso caso, a = 0,45L e b = 0,55L.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade para cada estado:

Estado Fundamental ( n=1)

psi1(x) = raiz2L sin(pi xL)
A probabilidade é:
P1 = integral0,45L^0,55L (raiz2L sin(pi xL))^2 dx = 2L integral0,45L^0,55L sin^2(pi xL) dx

Primeiro Estado Excitado ( n=2)

psi2(x) = raiz2L sin(2pi xL)
A probabilidade é:
P2 = integral0,45L^0,55L (raiz2L sin(2pi xL))^2 dx = 2L integral0,45L^0,55L sin^2(2pi xL) dx

Passo 5

Vamos resolver as integrais usando a identidade trigonométrica sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2.

Para P1:

P1 = 2L integral0,45L^0,55L 1 - cos(2pi xL)2 dx = 1L [ x - L2pi sin(2pi xL) ]0,45L^0,55L
Calculando:
P1 = 1L [ (0,55L - 0,45L) - L2pi (sin(1,1pi) - sin(0,9pi)) ]
Simplificando:
P1 = 0,10 - 12pi [sin(1,1pi) - sin(0,9pi)]
Sabendo que sin(1,1pi) = sin(0,1pi) e sin(0,9pi) = sin(0,1pi) (considerando propriedades de periodicidade da função seno):
P1 approx 0,10 - 12pi (2 sin(0,1pi)) approx 0,10 - 2 sin(0,1pi)2pi = 0,10 - sin(0,1pi)pi
Calculando numericamente:
sin(0,1pi) approx 0,3090
P1 approx 0,10 - 0,30903,1416 approx 0,10 - 0,0983 approx 0,0017

Para P2:

P2 = 2L integral0,45L^0,55L sin^2(2pi xL) dx = 1L [ x - sin(4pi xL)4pi ]0,45L^0,55L
Calculando:
P2 = 1L [ (0,55L - 0,45L) - 14pi (sin(2,2pi) - sin(1,8pi)) ]
Simplificando e sabendo que sin(2,2pi) = sin(0,2pi) = 0 e sin(1,8pi) = sin(0,8pi) approx sin(0,2pi times 0,8) = sin(1,6pi) = -sin(0,4pi) approx -0,5878:
P2 = 0,10 - 14pi (0 - (-0,5878)) = 0,10 - 0,58784pi approx 0,10 - 0,0469 approx 0,0531

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula entre 0,45L e 0,55L é aproximadamente:
  • Estado Fundamental ( n=1): P1 approx 0,17%
  • Primeiro Estado Excitado ( n=2): P2 approx 5,31%

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