Encontre a probabilidade de que uma partícula presa em uma caixa
de largura possa ser encontrada entre
e
para os estados fundamental e primeiro estado excitado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta qual a probabilidade de encontrar uma partícula dentro de uma caixa de largura
entre
e
para o estado fundamental e o primeiro estado excitado. Isso está ligado à mecânica quântica, especificamente ao modelo da partícula na caixa. Para resolver, vamos precisar das funções de onda desses estados e calcular a probabilidade através da integral do quadrado da função de onda nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as funções de onda para a partícula na caixa. Para uma caixa de largura
, as funções de onda para os estados quantizados são dadas por:
onde
é o número quântico (1 para o estado fundamental, 2 para o primeiro excitado, etc.).
Passo 3
A probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é calculada integrando o quadrado da função de onda sobre esse intervalo. Ou seja:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade para cada estado:
Estado Fundamental (
)
A probabilidade é:
Primeiro Estado Excitado (
)
A probabilidade é:
Passo 5
Vamos resolver as integrais usando a identidade trigonométrica
.
Para
:
Calculando:
Simplificando:
Sabendo que
e
(considerando propriedades de periodicidade da função seno):
Calculando numericamente:
Para
:
Calculando:
Simplificando e sabendo que
e
:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula entre
e
é aproximadamente:
- Estado Fundamental (
): - Primeiro Estado Excitado (
):