Raios X de comprimento de onda 200 pm incidem em uma placa de material metálico. Os raios X espalhados pelos elétrons são observados a um ângulo de 45 graus em relação a direção incidente. Qual é o comprimento de onda dos fótons espalhados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem raios X com um comprimento de onda de 200 pm que batem numa placa metálica. Esses raios X são espalhados pelos elétrons e a gente observa esse espalhamento num ângulo de 45 graus em relação à direção original. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o novo comprimento de onda desses fótons espalhados. Para resolver isso, vamos usar o conceito de espalhamento Compton, que descreve como o comprimento de onda dos fótons muda quando eles colidem com elétrons.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espalhamento Compton. É um fenômeno onde um fóton (como um raio X) bate num elétron e parte com um novo comprimento de onda. A diferença entre o comprimento de onda inicial e o final depende do ângulo de espalhamento. A fórmula do espalhamento Compton é:
lambda' = lambda + hme c (1 - cos theta)
Onde:
  • é o comprimento de onda final
  • é o comprimento de onda inicial
  • é a constante de Planck ( )
  • é a massa do elétron ( )
  • é a velocidade da luz ( )
  • é o ângulo de espalhamento

Passo 3

Agora, vamos identificar e substituir os valores que temos na fórmula. O comprimento de onda inicial 200 , pm = 200 times 10^-12 , m = 2 times 10^-10 , m é 200 pm, que a gente precisa converter para metros:
cos 45° = raiz22 approx 0,7071
O ângulo é 45 graus. Vamos calcular :

Passo 4

Vamos calcular a constante de Compton, que é hme c = 6,626 times 10^-34 , J·s9,109 times 10^-31 , kg times 3,00 times 10^8 , m/s :
hme c approx 2,426 times 10^-12 , m

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo na fórmula do espalhamento Compton:
lambda' = lambda + hme c (1 - cos theta)
Substituindo os valores:
lambda' = 2 times 10^-10 , m + 2,426 times 10^-12 , m times (1 - 0,7071)
lambda' = 2 times 10^-10 , m + 2,426 times 10^-12 , m times 0,2929
lambda' = 2 times 10^-10 , m + 7,107 times 10^-13 , m
lambda' approx 2,07107 times 10^-10 , m

Resposta

O comprimento de onda dos fótons espalhados é aproximadamente metros, ou 207 pm.

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