Uma partícula se encontra em um poço quadrado infinito de largura L. Calcule a energia do estado fundamental (a) se a partícula é um próton e L=0,1 nm, o tamanho aproximado de uma molécula; (b) se a partícula é um próton e L=1 fm, o tamanho aproximado de um núcleo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula, no caso um próton, que está em um poço quadrado infinito de largura . O conteúdo aqui envolve a mecânica quântica, especificamente o modelo de poço de potencial infinito. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da energia dos estados quantizados nesse modelo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a energia dos estados quantizados em um poço quadrado infinito. A energia En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2 de cada estado é dada por:
Onde:
  • é o número quântico (para estado fundamental, ),
  • é a constante de Planck reduzida ( ),
  • é a massa da partícula (aqui, a massa do próton),
  • é a largura do poço.

Passo 3

Vamos identificar os dados que temos para cada parte do exercício.
Parte (a):
  • Partícula: próton
  • Estado fundamenta:
A massa do próton é aproximadamente .

Passo 4

Agora, basta substituir os valores na fórmula da energia:
E1 = 1^2 pi^2 (1,0545718 times 10^-34)^22 times 1,673 times 10^-27 times (0,1 times 10^-9)^2
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular pi^2 approx 9,8696 :
(1,0545718 times 10^-34)^2 approx 1,112 times 10^-68 , J^2s^2
  1. Calcular 2 times 1,673 times 10^-27 times (0,1 times 10^-9)^2 = 2 times 1,673 times 10^-27 times 1 times 10^-20 = 3,346 times 10^-47 , kg·m^2 :
E1 = 9,8696 times 1,112 times 10^-683,346 times 10^-47 approx 10,97 times 10^-683,346 times 10^-47 approx 3,28 times 10^-21 , J
  1. Calcular :
  1. Colocar tudo junto:

Passo 5

Para facilitar a interpretação, podemos converter a energia de Joules para elétron-volts (eV). Sabemos que E1 approx 3,28 times 10^-211,602 times 10^-19 approx 0,0205 , eV .

Passo 6

Vamos agora para a Parte (b) do exercício:
Parte (b):
  • Partícula: próton
  • E1 = pi^2 hbar^22mL^2
  • Estado fundamental:
Usamos a mesma fórmula da energia:

Passo 7

Substituindo os valores:
E1 = 9,8696 times 1,112 times 10^-682 times 1,673 times 10^-27 times (1 times 10^-15)^2
Calculando passo a passo:
  1. Calcular 2 times 1,673 times 10^-27 times 1 times 10^-30 = 3,346 times 10^-57 , kg·m^2 :
9,8696 times 1,112 times 10^-68 approx 10,97 times 10^-68 , J^2s^2
  1. Calcular o numerador:
E1 = 10,97 times 10^-683,346 times 10^-57 approx 3,28 times 10^-11 , J
  1. Colocar tudo junto:

Passo 8

Convertendo para elétron-volts:
E1 approx 3,28 times 10^-111,602 times 10^-19 approx 2,05 times 10^8 , eV = 205 , MeV

Resposta

A energia do estado fundamental para um próton em um poço quadrado infinito com largura é aproximadamente ou 205 MeV.

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