Uma partícula se encontra em um poço quadrado infinito de largura L. Calcule a energia do estado fundamental (a) se a partícula é um próton e
, o tamanho aproximado de uma molécula; (b) se a partícula é um próton e
, o tamanho aproximado de um núcleo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula, no caso um próton, que está em um poço quadrado infinito de largura
. O conteúdo aqui envolve a mecânica quântica, especificamente o modelo de poço de potencial infinito. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da energia dos estados quantizados nesse modelo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a energia dos estados quantizados em um poço quadrado infinito. A energia
de cada estado é dada por:
Onde:
-
é o número quântico (para estado fundamental, ), -
é a constante de Planck reduzida ( ), -
é a massa da partícula (aqui, a massa do próton), -
é a largura do poço.
Passo 3
Vamos identificar os dados que temos para cada parte do exercício.
Parte (a):
- Partícula: próton
-
- Estado fundamenta:
A massa do próton é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, basta substituir os valores na fórmula da energia:
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Colocar tudo junto:
Passo 5
Para facilitar a interpretação, podemos converter a energia de Joules para elétron-volts (eV). Sabemos que
.
Passo 6
Vamos agora para a Parte (b) do exercício:
Parte (b):
- Partícula: próton
-
- Estado fundamental:
Usamos a mesma fórmula da energia:
Passo 7
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
- Calcular
:
- Calcular o numerador:
- Colocar tudo junto:
Passo 8
Convertendo para elétron-volts:
Resposta
A energia do estado fundamental para um próton em um poço quadrado infinito com largura
é aproximadamente
ou 205 MeV.
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