Encontre os produtos: (1+x+x^2+x^3+cdots)(1+x^3+x^6+x^9+cdots)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem que encontrar o produto de duas séries infinitas:
(1 + x + x^2 + x^3 + cdots) times (1 + x^3 + x^6 + x^9 + cdots)
Aqui, estamos trabalhando com séries geométricas, que são somas infinitas onde cada termo é uma constante multiplicada por uma potência de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar séries infinitas e simplificar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada uma das séries separadamente. A primeira série é:
1 + x + x^2 + x^3 + cdots
Essa é uma série geométrica com a razão sumn=0^infty r^n = 11 - r (para |r| < 1) . Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
11 - x
Então, podemos escrever a primeira série como:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda série:
1 + x^3 + x^6 + x^9 + cdots
Essa também é uma série geométrica, mas com uma razão diferente. Aqui, cada termo é sumn=0^infty (x^3)^n = 11 - x^3 (para |x^3| < 1) vezes o termo anterior, então a razão é 11 - x^3 . Usando a mesma fórmula da soma da série geométrica, temos:
Portanto, a segunda série é:

Passo 4

Agora que temos as duas séries representadas de forma mais simples, podemos encontrar o produto delas. O produto das duas frações é:
11 - x times 11 - x^3 = 1(1 - x)(1 - x^3)

Passo 5

Vamos simplificar o denominador da fração. Note que 1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2) pode ser fatorado usando a identidade de diferença de cubos:
1(1 - x)(1 - x^3) = 1(1 - x)(1 - x)(1 + x + x^2) = 1(1 - x)^2(1 + x + x^2)
Então, substituindo na expressão, temos:

Passo 6

Mas o que o exercício realmente pede é o produto das duas séries, não necessariamente a soma. No entanto, de outra forma de olhar, ao multiplicar as duas séries originais:
(1 + x + x^2 + x^3 + cdots) times (1 + x^3 + x^6 + cdots)
Cada termo da primeira série se multiplica por cada termo da segunda série, resultando em uma nova série onde os exponentes de 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + cdots = 11 - x são todas as combinações possíveis de somas dos exponentes das duas séries. Isso cobre todos os números naturais não negativos.
Portanto, o produto das duas séries resulta em:

Resposta

O produto das duas séries infinitas é:
11 - x

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