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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem que encontrar o produto de duas séries infinitas:
Aqui, estamos trabalhando com séries geométricas, que são somas infinitas onde cada termo é uma constante multiplicada por uma potência de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar séries infinitas e simplificar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada uma das séries separadamente. A primeira série é:
Essa é uma série geométrica com a razão . Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Então, podemos escrever a primeira série como:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda série:
Essa também é uma série geométrica, mas com uma razão diferente. Aqui, cada termo é vezes o termo anterior, então a razão é . Usando a mesma fórmula da soma da série geométrica, temos:
Portanto, a segunda série é:

Passo 4

Agora que temos as duas séries representadas de forma mais simples, podemos encontrar o produto delas. O produto das duas frações é:

Passo 5

Vamos simplificar o denominador da fração. Note que pode ser fatorado usando a identidade de diferença de cubos:
Então, substituindo na expressão, temos:

Passo 6

Mas o que o exercício realmente pede é o produto das duas séries, não necessariamente a soma. No entanto, de outra forma de olhar, ao multiplicar as duas séries originais:
Cada termo da primeira série se multiplica por cada termo da segunda série, resultando em uma nova série onde os exponentes de são todas as combinações possíveis de somas dos exponentes das duas séries. Isso cobre todos os números naturais não negativos.
Portanto, o produto das duas séries resulta em:

Resposta

O produto das duas séries infinitas é:

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