Encontre os produtos: (1+x+x^2+x^3+cdots)^2

Passo 1

Beleza, então a gente tem o exercício de encontrar o produto de uma série infinita ao quadrado: (1 + x + x^2 + x^3 + cdots)^2. Vamos usar conceitos de progressões e séries matemáticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa série: 1 + x + x^2 + x^3 + cdots. Essa é uma série geométrica infinita, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por x. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita, quando a razão |x| < 1, é:
S = a1 - r
Aqui, a é o primeiro termo da série (que é 1) e r é a razão (que é x). Então, a soma da nossa série é:
S = 11 - x

Passo 3

Agora, queremos encontrar o quadrado dessa soma, ou seja, S^2. Isso significa multiplicar a série por ela mesma:
(11 - x)^2 = 1(1 - x)^2

Resposta

Portanto, o produto da série infinita ao quadrado é:
(1 + x + x^2 + x^3 + cdots)^2 = 1(1 - x)^2

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