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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o produto de uma série infinita: . Aqui, vamos usar conceitos de séries geométricas e álgebra para resolver.

Passo 2

Vamos analisar a série . Essa é uma série geométrica infinita onde cada termo é multiplicado por para chegar ao próximo termo. A forma geral de uma série geométrica é:
onde é o primeiro termo e é a razão da série.

Passo 3

No nosso caso, o primeiro termo e a razão . A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
desde que para garantir a convergência da série.

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa série:
Então, a série soma para .

Passo 5

Agora, queremos encontrar o quadrado dessa soma:
Para simplificar , lembramos da identidade algébrica:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

O produto é igual a .

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