Encontre os produtos: (1-x+x^2-x^3+cdots)^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o produto de uma série infinita: . Aqui, vamos usar conceitos de séries geométricas e álgebra para resolver.

Passo 2

Vamos analisar a série S = a + ar + ar^2 + ar^3 + cdots . Essa é uma série geométrica infinita onde cada termo é multiplicado por para chegar ao próximo termo. A forma geral de uma série geométrica é:
onde é o primeiro termo e é a razão da série.

Passo 3

No nosso caso, o primeiro termo S = a1 - r e a razão . A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
desde que para garantir a convergência da série.

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa série:
S = 11 - (-x) = 11 + x
Então, a série soma para .

Passo 5

Agora, queremos encontrar o quadrado dessa soma:
(11 + x)^2 = 1(1 + x)^2
Para simplificar (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 , lembramos da identidade algébrica:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
1(1 + x)^2 = 11 + 2x + x^2

Resposta

O produto é igual a .

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