Quantas coleções de 7 frutas podem ser feitas de 3 bananas, 3 maçãs e 3 laranjas. Duas coleções se diferenciam somente por quantidade de cada tipo de fruta.
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos montar uma coleção de 7 frutas usando até 3 bananas, 3 maçãs e 3 laranjas. Duas coleções são consideradas iguais se tiverem a mesma quantidade de cada tipo de fruta. Vamos usar um pouco de combinatória para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em todas as possíveis combinações de bananas, maçãs e laranjas que somem exatamente 7 frutas. Vamos representar a quantidade de cada fruta como
(bananas),
(maçãs) e
(laranjas). Então, temos a equação:
Passo 3
Sem restrições, o número de soluções para essa equação é dado pela fórmula de “combinação com repetição”, que é:
Isso significa que, sem pensar nas limitações de cada fruta, teríamos 36 combinações.
Passo 4
Mas aí a gente lembra que só temos até 3 de cada fruta. Então, precisamos descontar as combinações onde alguma das frutas excede esse limite. Vamos calcular quantas combinações têm pelo menos uma fruta com mais de 3 unidades.
Se, por exemplo,
, substituímos
por
, ficando:
Aí, o número de soluções para essa equação é:
Como isso pode acontecer para bananas, maçãs ou laranjas, multiplicamos por 3:
Passo 5
Agora, a gente subtrai essas 30 combinações das 36 iniciais:
Além disso, não precisamos nos preocupar com cenários onde duas frutas excedem o limite, porque a soma já ultrapassaria 7.
Passo 6
Então, concluímos que há 6 maneiras diferentes de montar a coleção de 7 frutas respeitando as restrições de quantidade para cada tipo de fruta.
Resposta
Existem 6 coleções diferentes possíveis.