Quantas coleções de 7 frutas podem ser feitas de 3 bananas, 3 maçãs e 3 laranjas. Duas coleções se diferenciam somente por quantidade de cada tipo de fruta.

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos montar uma coleção de 7 frutas usando até 3 bananas, 3 maçãs e 3 laranjas. Duas coleções são consideradas iguais se tiverem a mesma quantidade de cada tipo de fruta. Vamos usar um pouco de combinatória para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em todas as possíveis combinações de bananas, maçãs e laranjas que somem exatamente 7 frutas. Vamos representar a quantidade de cada fruta como b + m + l = 7 (bananas), (maçãs) e (laranjas). Então, temos a equação:

Passo 3

Sem restrições, o número de soluções para essa equação é dado pela fórmula de “combinação com repetição”, que é:
binom7 + 3 - 13 - 1 = binom92 = 36
Isso significa que, sem pensar nas limitações de cada fruta, teríamos 36 combinações.

Passo 4

Mas aí a gente lembra que só temos até 3 de cada fruta. Então, precisamos descontar as combinações onde alguma das frutas excede esse limite. Vamos calcular quantas combinações têm pelo menos uma fruta com mais de 3 unidades.
Se, por exemplo, b' + m + l = 3 , substituímos binom3 + 3 - 13 - 1 = binom52 = 10 por 10 times 3 = 30 , ficando:
Aí, o número de soluções para essa equação é:
Como isso pode acontecer para bananas, maçãs ou laranjas, multiplicamos por 3:

Passo 5

Agora, a gente subtrai essas 30 combinações das 36 iniciais:
36 - 30 = 6
Além disso, não precisamos nos preocupar com cenários onde duas frutas excedem o limite, porque a soma já ultrapassaria 7.

Passo 6

Então, concluímos que há 6 maneiras diferentes de montar a coleção de 7 frutas respeitando as restrições de quantidade para cada tipo de fruta.

Resposta

Existem 6 coleções diferentes possíveis.

Exercícios relacionados