Encontre os produtos: (1+x+x^2+x^3+cdots)(1-x+x^2-x^3+cdots)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o produto de duas séries infinitas: (1+x+x^2+x^3+cdots) e (1-x+x^2-x^3+cdots). Isso tá dentro do conteúdo de Séries Geométricas, e pra resolver a parada, vamos precisar entender como somar séries geométricas e depois multiplicar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada uma dessas séries. A primeira série, 1 + x + x^2 + x^3 + cdots, é uma série geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por x. A soma de uma série geométrica infinita, quando |x| < 1, é dada por:
sumn=0^infty x^n = 11 - x
Assim, a primeira série soma para 11 - x.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda série: 1 - x + x^2 - x^3 + cdots. Essa também é uma série geométrica, mas com razão -x. Usando a mesma fórmula da soma de séries geométricas, temos:
sumn=0^infty (-x)^n = 11 - (-x) = 11 + x
Então, a segunda série soma para 11 + x.

Passo 4

Agora que temos as somas das duas séries, vamos multiplicá-las:
11 - x times 11 + x = 1(1 - x)(1 + x)
Podemos simplificar o denominador multiplicando os binômios:
(1 - x)(1 + x) = 1 - x^2
Então, a expressão fica:
11 - x^2

Resposta

O produto das duas séries é boxeddfrac11 - x^2.

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