Progressões geométricas são sequências de números nas quais o próximo número é obtido a partir da multiplicação do número anterior por um número fixo, a razão. Sabendo que o terceiro número dessa progressão é 15 e o quinto é 135, qual das alternativas pode representar o segundo termo dessa razão?

Passo 1

Estamos lidando com uma progressão geométrica, que é uma sequência de números onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa. Aqui, sabemos que o terceiro termo é 15 e o quinto termo é 135. Nosso objetivo é descobrir qual pode ser o segundo termo dessa progressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula geral para o enésimo termo de uma progressão geométrica:
an = a1 cdot r^n-1
onde:
  • $ a_n $ é o enésimo termo,
  • $ a_1 $ é o primeiro termo,
  • $ r $ é a razão da progressão,
  • $ n $ é a posição do termo na sequência.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para o terceiro e quinto termos. Para o terceiro termo ($ a_3 = 15 $):
a3 = 15
E para o quinto termo ($ a_5 = 135 $):
a3 = a1 cdot r^3-1 = a1 cdot r^2 = 15

Passo 4

Agora, temos duas equações:
  1. $ a_1 \cdot r^{2} = 15 $
  2. $ a_1 \cdot r^{4} = 135 $
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar $ a_1 $:

Passo 5

Resolvendo para $ r $:
r

Passo 6

Agora, vamos encontrar o primeiro termo $ a_1 $ usando a primeira equação $ a_1 \cdot r^{2} = 15 $:
Para $ r = 3 $:
a1
Para $ r = -3 $:
a1 cdot r^2 = 15

Passo 7

Finalmente, o segundo termo da progressão ($ a_2 $) é dado por:
a2
Para $ r = 3 $:
a2 = a1 cdot r
Para $ r = -3 $:
r = 3

Resposta

O segundo termo da progressão pode ser 5 ou -5.

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