Progressões geométricas são sequências de números nas quais o próximo número é obtido a partir da multiplicação do número anterior por um número fixo, a razão. Sabendo que o terceiro número dessa progressão é 15 e o quinto é 135, qual das alternativas pode representar o segundo termo dessa razão?
Passo 1
Estamos lidando com uma progressão geométrica, que é uma sequência de números onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa. Aqui, sabemos que o terceiro termo é 15 e o quinto termo é 135. Nosso objetivo é descobrir qual pode ser o segundo termo dessa progressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula geral para o enésimo termo de uma progressão geométrica:
onde:
- $ a_n $ é o enésimo termo,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ r $ é a razão da progressão,
- $ n $ é a posição do termo na sequência.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para o terceiro e quinto termos. Para o terceiro termo ($ a_3 = 15 $):
E para o quinto termo ($ a_5 = 135 $):
Passo 4
Agora, temos duas equações:
- $ a_1 \cdot r^{2} = 15 $
- $ a_1 \cdot r^{4} = 135 $
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar $ a_1 $:
Passo 5
Resolvendo para $ r $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o primeiro termo $ a_1 $ usando a primeira equação $ a_1 \cdot r^{2} = 15 $:
Para $ r = 3 $:
Para $ r = -3 $:
Passo 7
Finalmente, o segundo termo da progressão ($ a_2 $) é dado por:
Para $ r = 3 $:
Para $ r = -3 $:
Resposta
O segundo termo da progressão pode ser 5 ou -5.